高中数学选修2-2导数单元测试2

选修2-2第一章测试题(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f(x)＝(x＋a)2，且f′12＝－3，则a的值为()A．－1B．－2C．1D．22．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．33．定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－14．当x在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：x(－∞，1)1(1,4)4(4，＋∞)f′(x)－0＋0－则函数f(x)的图象的大致形状为()5．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点6．当x＝a时，函数y＝ln(x＋2)－x取到极大值b，则ab等于()A．－1B．0C．1D．27.一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5m运动到x＝10m时F(x)做的功为()A．925JB．850JC．825JD．800J8．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值10．若0x1x21，则()A．ex2－ex1lnx2－lnx1B．ex2－ex1lnx2－lnx1C．x2ex1x1ex2D．x2ex1x1ex211．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，f(2)＝e28，则x0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3B．4C．5D．6第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为________．14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．16.若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间0，13上单调递增，求b的取值范围．20.(12分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？21.(12分)已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f′(x)；(2)若f′(1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．22.(12分)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．答案1．B∵f(x)＝(x＋a)2，∴f′(x)＝2x＋2a，依题意有2×12＋2a＝－3，解得a＝－2.2．D∵y＝ax－ln(x＋1)，∴y′＝a－1x＋1.∴y′|x＝0＝a－1＝2，得a＝3.3．C因为(x2＋ex)′＝2x＋ex，所以01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.4．C从表中可知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．5．D由f′(x)＝－2x2＋1x＝1x1－2x＝0可得x＝2.当0x2时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f′(x)0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．6．Ay′＝[ln(x＋2)－x]′＝1x＋2－1.令y′＝0，得x＝－1，此时y＝ln1＋1＝1，即a＝－1，b＝1，故ab＝－1.7．C依题意F(x)做的功是W＝∫105F(x)dx＝∫105(3x2－2x＋5)dx＝(x3－x2＋5x)|105＝825(J)．8．D由f′(x)＝k－1x，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在x∈(1，＋∞)上恒成立．又当x∈(1，＋∞)时，01x1，故k≥1.故选D.9．C当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，∵f′(1)＝e－1≠0，∴f(x)在x＝1处不能取到极值；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)·(xex＋ex－2)，令H(x)＝xex＋ex－2，则H′(x)＝xex＋2ex0，x∈(0，＋∞)．说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，且H(1)＝2e－20，H(0)＝－10，因此当x0x1(x0为H(x)的零点)时，f′(x)0，f(x)在(x0,1)上为减函数．当x1时，f′(x)0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.10．C设f(x)＝ex－lnx，则f′(x)＝x·ex－1x.当x0且x趋近于0时，x·ex－10；当x＝1时，x·ex－10，因此在(0,1)上必然存在x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，因此A，B不正确；设g(x)＝exx，当0x1时，g′(x)＝x－1exx20，所以g(x)在(0,1)上为减函数．所以g(x1)g(x2)，即ex1x1ex2x2，所以x2ex1x1ex2.故选C.11．D令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，F(2)＝4·f(2)＝e22.由x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，得x2f′(x)＝exx－2xf(x)＝ex－2x2fxx，∴f′(x)＝ex－2Fxx3.令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2exx＝exx－2x.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.12．A由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解，如图所示，由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.13.S2S1S3解析：S1＝12x2dx＝13x3|21＝73，S2＝121xdx＝lnx|21＝ln2，S3＝12exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)e73，所以S2S1S3.14．2解析：令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.15．－3解析：由曲线y＝ax2＋bx过点P(2，－5)，得4a＋b2＝－5.①又y′＝2ax－bx2，所以当x＝2时，4a－b4＝－72，②由①②得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.16．(－∞，－3)解析：设f(x)＝eax＋3x，则f′(x)＝3＋aeax.∵函数在x∈R上有大于零的极值点，∴f′(x)＝3＋aeax＝0有正根，①当a≥0时，f′(x)＝3＋aeax0，∴f′(x)＝3＋aeax＝0无实数根，∴函数y＝eax＋3x，x∈R无极值点；②当a0时，由f′(x)＝3＋aeax＝0，解得x＝1aln－3a.当x1aln－3a时，f′(x)0，当x1aln－3a时，f′(x)0，∴x＝1aln－3a为函数的极值点，∴1aln－3a0，解得a－3，∴实数a的取值范围是(－∞，－3)．17．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.18．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′－23＝129－43a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－12，b＝－2.f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2227＋c－32＋c所以函数f(x)的单调增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为－23，1.(2)f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.所以c的取值范围是c－1或c2.19.解：(1)当b＝4时，f′(x)＝－5xx＋21－2x，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈0，12时，f′(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝－x[5x＋3b－2]1－2x，因为当x∈0，13时，－x1－2x0，依题意当x∈0，13时，有5x＋(3b－2)≤0，从而53＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为－∞，19.20．解：设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．由题意得所需电线的长为l＝AC＋BC＝1＋x2＋1.52＋3－x2(0≤x≤3)．则l′＝2x21＋x2＋－23－