数学思想史

数学思想史1.数学的词源“数学”英文为mathemtics，其源于希腊文μαθηματικα，取自于毕达哥拉斯，原意是指那些获得较高深知识的人，后来演化为数学，相当于全部的课程或知识。毕达哥拉斯将全部的学习课程分为：数的绝对理论－算术，数的应用－音乐，静止的量－几何，运动的量－天文，合起来称为“四道”。中国最早出现在《周礼·地官·大司徒》中，“三曰六艺：礼、乐、射、御、书、数”，这里的“数”是指数学。《殷虚文字甲编》中有字，从字形来理解，左边是一根杆上打了许多结，上下是散乱的绳头，有结绳记数的含义。中国古代称为算术，古代“算”字有三种写法：筭、算、祘。许慎《说文解字》，“筭，长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄乃不误也。”“算，数也。从竹从具，读若筭。”“算术”一词最早源于《周髀算经》：“昔者荣方问于陈子曰：今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，……陈子曰：然。此皆算术之所及。”算术与数学至少从宋元时期就混用。如秦九韶《数书九章》：“尝从隐君子受数学。”1933年，民国时期成立数学名词审查委员会，进行了专门讨论。1939年6月，相关部门曾作过民意调查，使用算术与数学各占一半。最后由教育部决定用“数学”而废“算术”，其理由是我国古代六艺中有“数”，人们接受当时的名称“数理”，当时高等学校以“数学”、“数理”、“数学天文”命名据多。1939年8月，教育部正式通令使用“数学”一词作为英文mathemtics译名。2.数学的定义或数学观从数学本身的角度来理解数学。公元前6世纪前，数学主要是指关于“数”的研究。公元前6世纪，数学是关于数与形的研究。公元前4世纪，亚里士多德指出“数学是量的科学。”16世纪，培根将数学分为纯粹数学和混合数学（相当于应用数学），纯粹数学是“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。17世纪，笛卡儿认为，“凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。”19世纪，恩格斯在《反杜林论》认为“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。”19世纪，康托认为“数学是绝对自由发展的科学，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念的联系。”1939年，布尔巴基学派在《数学原本》认为“数学是研究结构的科学。”怀特海在《数学与善》的报告中指出：“数学是模式的研究”。斯蒂恩解释：“数学是模式的科学，数学家从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式，数学理论阐明了模式间的关系；函数和映射、算子和映射把一类模式与另一类模式联系起来，从而产生稳定的数学结构。数学应用即是运用这些模式对相应的自然现象做出‘解释’和预言。模式揭示了别的模式，并常常导致了模式的模式。正是以这种方式遵循着自身的逻辑：以源于科学的模式为出发点，并通过补充所有的由先前的模式导出的模式，使这种图像更加完备。”从数学同其它学科的角度来理解数学。数学是文化，文化是指人类在社会实践过程中所创造的一切物质财富和精神财富的总和。数学文化是指在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。数学是思维。柯朗在《数学是什么》中指出，“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是:逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个别性，……正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的力量才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。”康托认为：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于:必须是无矛盾的并且和先前由确切定义所引进的概念相协调，……数学的本质就在于它的自由。”数学是语言。美国数学家M.克莱因曾经指出:“数学也用符号来表示数量关系和空间形式，与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意识地而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严格性和简洁性，数学家们可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言来表达，就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维效率”数学是艺术。1907年，罗素在其论文《数学的研究》中指出，“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种圆满的境地。”波莱尔在讲演《数学—艺术与科学》中提出:“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价的。对于凡夫俗子来说，如果听到在数学这样一门令人毛骨惊然的学科里居然可以谈论美学准则，往往是会大吃一惊的。但是，这种看法在数学家身上是很强烈的”数学是猜想。波利亚在《数学与猜想》中提出:“数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，而且还可以提出有价值的新问题”。3.数的起源人类具有认识世界和改造世界的综合性技巧的能力，能够通过数（shŭ）或计的实践活动形成数的概念。为了计数的需要，在实践中不断数（shŭ）的活动，数就是在数（shŭ）过程中形成的。起初，人们只能认识“有”与“没有”，后来，分辨出“多”与“少”，认识1与多是关键的一步。人类在计数的过程中，建立物体集合之间的一一对应关系来达到计数的目的，这是数数（shŭ）活动的基本方式。这样逐渐脱离了具体事物的量，抽象出纯粹的数的概念。在数的概念形成的过程中，对集合间等数性的认识具有决定意义，它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。例如，小石子、沙粒、树枝等物积集的方法，打绳结、在兽骨、泥块上刻痕的方法。拉丁文calculi原意就是石子，abacus的希腊文原意是沙粒，汉字“算”古文通“策”，意思是一种不加人工制作的细木枝。这些仅表明物体集合蕴含着数量特性的形式转移，不是现在意义上的数。数概念的形成第二步是进位制的完成。由于人类使用手来进行计数，必然遇到手指不够用的境地，随之可能形成10进制记数法。人类历史曾产生很多种进位制记数法，如2进制、5进制、12进制、20进制等。进位制的采用和记数符号的发明标志着数概念的形成，抽象的数的概念通过具体的记数形式来体现。历史上，人类也曾发明各种古老的记数法。记数方式有两种：一是数的语言的形式。在数的符号产生之前，人类发明数的语言来表示数的个数。例如，汉语“二”源于“耳”，“我”表示1，苜蓿叶表示3，兽中蹄表示4等。其特点是分散的，同一个数常常有不同的名称，用于不同的事物。二是数的符号形式。最初，人类都曾经历过刻划记数的阶段，物体与刻痕形成一一对应，用来表示集合中元素的数量。后来，由于人类文明的发展，记帐成为必然，人类创造了比刻痕较为简单的记数法，用独立的记号表示基数（如图）。量的概念。毕达哥拉斯学派把度量视为量与量的一种比较。在这种观念中，一条线段的长度单位被认为是为另一长度以一定的倍数所包容。因此，在他们的词汇中长度被解释成两条线段的比，当其中一条线段被确定为单位时，这个比以一个整数反映出来。比的概念是对几何量和整数赋于同一性的结果。在原始认识上，数只是用于表明“一种从某一单位开始的累加，或止于该单位的累减。”“而且正如它们的几何形式一样，它们本身是为自然界所固有的。每个数在空间具有一定的地位，占有一定的位置。如果说几何抽象是构成真实事物的元素，那么数就是这种抽象的终极元素，从而也就是物质实体和整个自然界的终极元素。”4.算法的形成估算能力与精算能力:脑与认知科学的研究成果及其对数学教育的启示（董奇，张红川，教育研究，2002年第5期）运算是伴随着数概念的形成与发展，其内容不断扩展和丰富，从自然数的四则运算扩展到小数、分数的四则运算，以及简单的乘方运算。心算（估算）早于器算和笔算。估算能力(approximation)则指个体在利用一些估算策略的基础上,通过观察、比较、判断、推理等认知过程,获得一种概略化结果的能力。例如，印第安人认为26是两个10再加6，18是20减2。但心算存在缺点是信息量有限，不适宜传授。器算优于笔算而广泛地得到运用，出现算盘和算筹两种形式。算盘多见于欧洲，算筹为中国独创。历史遗留下来的数学遗产主要是笔算。埃及没有位置制记数法，是用特殊的符号表示十、百、千等位值。加减法可以对符号进行增减或调换。乘除法比较复杂些。例如，26×33，又如，19÷88585281626481324662331数的性质的研究。当数的概念形成之后，人们可能出于好奇心或理性思维，对数本身进行研究。首先将数进行分类是毕达哥拉斯学派，将数分为奇数和偶数。由于毕达哥拉斯学派的哲学信条是“万物皆数”，认为万物的本质是数，因此，毕达哥拉斯学派对数的研究情有独钟。毕达哥斯学派首次将数与形结合起来，创造形数，如三角形数、四边形数、五边形数。素数也是人类比较早发现的，进一步发现所有自然数可以由素数相乘而得到。欧几里得证明：素数是无限多个。由于素数与合数混乱在自然数，人们开始研究寻找素数的方法，试图找到素数的规律和公式。最早做出这项工作的是埃拉托塞尼，即埃拉托塞尼筛法。一直到高斯时代，人们认为素数公式是不存在的，高斯认为素性判定是数论中最困难的问题之一。此后，有一大批数学研究者参与到研究行列中，他们只对特殊的数作了些讨论，或者只对素数作了一般性的讨论。20世纪初，手摇计算机的诞生促使研究者使用计算机对素性进行判定。1950年后，由于电子计算机的发明大大促进了人们对素性的研究工作，创造了许多新方法，并取得了好成果。大约在2500年前，中国古代数学家发现：22−2是2的倍数，23−2是3的倍数，25−2是5的倍数，27−2是7的倍数，211−2是11的倍数，而2,3,5,7,11是素数，由此，断定：“若2n−2是n的倍数，那么n是素数。”莱布尼兹也曾相信《易经》中所记载的这一结论。1819年，法国赛路斯举出一个反例：2341−2是341倍数，但341＝11×31。5.形的起源形源于摹写。人类摹写图形是由于与古人的生产有关的宗教意识所致，例如，图腾崇拜、宗教礼仪。图形这个时期还是以原始社会的物质生活为基础。随着社会的发展，图腾、幻术、宗教后来发展成为一种专门的事业，出现了专职人员，主持典礼、施行幻术、充当画师。这样图形的意义大大扩充了，形成了简化了的偶像和符号，由直接摹写发展到抽象表现。图形几何化的另一动因来自编织，人类需要织出花样、经纬线，促进了人类对形和数的认识，同时，轮的使用直接加深和扩大了对几何图形的认识。另外，人类建造房屋也是激起对几何的研究。6.分数从字义上来看，“分数”意为分开和部分的意思。拉丁文fractio的前身frangere,意思是打破和断裂的意思，中国甲骨文中的“分”形如“”，取自分别相背的形状，后来变成“八”，在它的下面加一个“刀”字，表示用刀割开。因此，分数观念起源于整体分割后对其部分的表示。分数概念的形成至少有两条途径：一条是客观现实的途径，源于现实的摹写；另一条是811*412*214216*18数学概念之间相互作用。客观现实通过分割而引发分数观念的萌发，但不能导致完整的分数概念及其符号表示。因为分割整体的实践难以产生分数概念的升华，人们对整体分割后的部分又总是从整体加以认识。因此，虽然分割的实践对数的概念由整数扩展到分数的重要作用，但这个作用只表现在激化认识矛盾，促进新概念的萌发上，而不能代替数学的自我完善的作用。完整的分数概念及其符号表示起源于概念间的相互作用，即整数之间的除法运算。《九章算术》中的分数。分数是从除法运算引进和定义的。“实如法而一，不满法者，以法命之。”分数的记法采用分子分母上下结构，后来也有采取分子分母左右结构，表明中国古代的分数实质上是构成比率的“数对”，等同于子与母之比。因此，分数理论可以看成是比率理论的初级形式和先导。7.方程何谓小学生的符号感？（周东明姚相全，人民教育，2010年第19期）方程是一门重要数学技术和数学思想。其存在的形式大体有语言形式、简字形式和符号形式。语言形式是方程最初的表现形式，用语言文字表述方程。如埃及，古希腊提出