例1某系统的结构图如图所示试求系统的传递函数

1例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数。sRsCk2sss1sRss1s1sC结构图A总复习题2k2sss1sRss1s1sC结构图Ak2sss1sRss1s1sCBA（a）1.解：3k2sss1sRss1s1sCBA（a）k2sss1sRss1s1sCss1k（b）4k2sss1sRss1s1sCss1k（b）k2sssR11s1sss11s1sCk（c）5k2sssR11s1sss11s1sCk（c）sRkss21s111ssss1sC111sssk（d）6sR1sC（e）1sRsCsG所以提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图的反馈点（即分支点）A前移到点时，点的反馈值比在A点反馈少了，为了保证变换的等效性，需在相加点处加以补偿，大小为，于是有了图a。下例的变换也是这个思路，碰到这类分支点和相加点需要相互移动的题目，可用梅逊公式求解较为简单。AAsRsBsRs71k2ka例2.图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定，和的值。08.0t0.218.2ty（b）（a）系统结构图（b）阶跃响应曲线sR1ksYassk2（a）82221kasskksRsYskasskksRkasskksY12221222121limlim122210kskasskkstyystnnssassksG222aknn222所以又因为所以2.解：因为921%9%1002218.2%e608.0218.0nptsradn946.4据题意知解得解得463.2422k014.6946.4608.022na提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。故10例3.系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S右半平面的极点数。sRs1ss21ss212sYs1s系统结构图1122245ssss02245sss系统的特征方程为看出特征方程的系数不全为正，所以系统是不稳定的。为了求出S右半平面的极点数，列劳斯阵如下：2016200080202101012345ssssss0224s第三行元素全为零，对辅助方程求导得083s3.解：系统的闭环传递函数为12可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数替换0，继续排列劳斯阵。劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或对称于虚轴的两对共轭复根。解辅助方程得：0112224jsjssss0112jsjssss这样特征方程可写为1sjsjs1s2s可见，系统在S右半平面有一个根，在虚轴上有两个根，，在S左半平面有两个根，。，提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况（劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。13sG0106423ssssRsEsGsY系统结构图例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函数，应满足的条件:(1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；(2)闭环系统的特征方程为。14sGssGsRsE111011lim0sGssesss由题意知稳态误差为sGs0limsGcbsassksG2kcsbsasksGsGs231所以设则闭环系统传递函数为则分母的常数项应为零。4.解：由单位阶跃引起的误差为15010642323ssskcsbsas1a4b6c10k21046Gssss特征方程式为比较系数得即，，，16500520000ssssG%st试计算闭环系统的动态性能指标和。例5.某单位反馈随动系统的开环传递函数为175.解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点，而使系统近似为二阶系统。近似原则如下：①保持系统的稳态值不变；②瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为5401500540500520000sssssssssG2222240540nnnsssss近似后的闭环传递函数为18395.0325.652402nnn所以%26%100%21e时当时当26.1452.13nnst提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。则1901.0例6．已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零、极点分布如图的(a)和(b)所示，试确定闭环存在重极点情况下的闭环传递函数，此时反馈通路根轨迹增益为。sH图根轨迹和的零、极点分布-3-2-10123-3-2-101230（b）-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345-0.382（a）20212ssskGH21kkk1k2k122ssksH其中，为前向通路的根轨迹增益；为反馈通路的根轨迹增益。6.解：由图(a)可知系统的开环传递函数为由图(b)知因此，系统结构如图所示。09.0618.1618.0382.02122sssk由幅值条件知，分离点处sR11ssksC122ssk图结构图2101.02k91k由已知条件知在分离点处因此，有2mn382.02382.021s236.11s由，可知闭环极点之和等于开环极点之和，将分离点代入得09.0k382.0382.0236.1由此可知，当时，闭环系统有重根极点，且三个极点为，和，于是221382.0236.119382.0236.11ssssssks22提示:（1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增益和反馈通路根轨迹增益的乘积。（2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。（3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成。2342sssksGkk5.0k例7．已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的值范围；（3）求产生持续等幅振荡时的值和振荡频率；（4）求主导复数极点具有阻尼比为时的值和闭环极点。244,2,02342a0,2312180ka于是，渐近线与实轴交点为。7.解：（1）画根轨迹①该系统有三条根轨迹，开环极点为。②求渐近线0k60a1k180a当时当时1sP42ssssQ0sQsPsQsP，③求分离点：由开环传递函数知，代入方程081232ss有25155.122,1s155.31s845.02s901.3422222sssk不在根轨迹上，舍去。分离角为。根据幅值条件可求出分离点处的增益，是分离点，08623kssssfkskskss0123648681④根轨迹与虚轴的交点特征方程为劳斯表为2648k04862s83.22,1js当时，辅助方程为解得根轨迹如图所示。-6-5-4-3-2-10123456-6-4-20246j2.83-j2.8360o60o-0.84527481.3k（2）当时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响应为欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。48k83.2n（3）当时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡，。605.0cos160138.1675.02,1js（4）阻尼角，解方程或由图可知阻尼角为的主导极点2mn686.442213sss634.842111sssk根据幅值条件知由于，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为-6-5-4-3-2-10123456-6-4-20246j2.83-j2.8360o60o-0.84528例8.最小相角系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。0.11000203040152340020-20-40-60)()(dBL29lg20)(vL0v8.解：由图知在低频段渐近线斜率为0，因为最小交接频率前的低频段，故。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。1.0decdB20处斜率变化，属一阶微分环节。1decdB202decdB203decdB204decdB20在处斜率变化，属惯性环节。在处斜率变化，属惯性环节。在处斜率变化，属惯性环节。在处斜率变化，属惯性环节。0.11000203040152340020-20-40-60)()(dBL30111111.04321sssssKsG因此系统的传递函数具有下述形式4321,,,,K式中，待定30lg20K62.31105.1K由得。k)(,AAL)(,BBL因渐近线特性为折线，相邻的两交接频率间，渐近特性为直线，故若设斜率为，、、为该直线上的两点，则有直线方程BABAkLLlglg)()(或BABALLklglg)()(0.11000203040152340020-20-40-60)()(dBL3111lg101.0lglg30402011316.01确定：，所以确定：，所以444lg25lg100lg056054.8243确定：，所以34lglg2054081.3424371032确定：，所以23lglg402020481.32413102于是，所求的传递函数为154.82181.341481.31316.011.062.31ssssssG0.11000203040152340020-20-40-60)()(dBL