金融数学引论简化版(利息理论部分) 7-9

1第三章投资收益分析基本投资分析基金收益率计算资本预算注2§3.1基本投资分析现实中的投资活动千差万别,但是如果将各类投资活动的价值分析方法抽象出来,仍具有一些基本的原理和方法.本节首先讨论3种基本的价值分析工具:贴现现金流分析;内部收益率;未结价值分析.然后讨论再投资分析情形.33.1.1常用的三种基本分析方法和工具1.贴现现金流分析(DCF)考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,…n对一项投资事业投入C0,C1,C2,…Cn，称为该项投资的资金流。为方便起见，假设这些时间是等间隔的。如果Ct0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输入流；如果Ct0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输出流。注：如果在分析一项金融业务时，用从投资中返回而不是投入更易接受，则记Rt=-Ct，R0,R1,R2,…，Rn也称为该项目投资的资金流.通过将投资资金流贴现到零时刻考察投资现值的方法叫做贴现现金流分析(DCF)。4DCF分析方法可简述为:对任意一组分别于0,1,…,n时刻发生的收益现金流R0,R1,…,Rn,以利率i计算该收益现金流在投资之初的净现值P(i)(称为NPV函数),即)1.1.3()(0ntttvRiP若R0=0,则从投资一方看,P(i)表示以利率i计算的当前投入,也意味着不同收益水平下该投资项目的价格;若将其看作利率i的函数,则此表示投资的收益.更一般地,有)2.1.3()(0nttdtRviP例3.1.1考虑一项10年期的投资项目，其资金流如下：年支出收入Rt0100000-10000150000-5000210000-1000310000-1000410000-1000510000-100061000800070007100090008000810001000090009100011000100001001200012000P75表3-1若各时期利率为i,用DCF分析方法,该项目前10年NPV为:)1210987510(1000)(1098765432100vvvvvvvvvvvRiPtttE-10000-50000500010000150002000025000300000.010.030.050.070.090.110.130.150.170.19iP(i)P75图3-17在例3.1.1中,将此项投资收益看作完全由每时期的实利率i所造成的利息，则正反两个方向的资金贴现价值应该抵消,根据求值方程1023450678910100005000100010001000100070008000900010000120000ttiRvvvvvvvvvvv解得13.011vi就是投资收益率。解2.收益率定义3.1.1若利率i，使0)(0nittvRiP(3.1.3)或，则称i为收益率。收益率常作为一项度量某特定业务受欢迎程度的指标，从贷方观点看（投资方），收益率越高越受欢迎；从借方角度看，则情况相反。注1收益率不一定为正。如收益率为负，表明投资人在此项目中亏本。注2在应用收益率时要考虑所包含时期的长短。注3在大多数常见的金融业务中，收益率是唯一的，但偶然也有收益率不唯一的情况。如：0)1(0nitntiR注例3.1.2某人年初购买100元股票，并在第一年末以230元抛出，第二年末购入132元股票，不久该股份公司破产。问此人在本项投资上的收益率是多少？解:求值方程为21001322300vv223023041321002132v12120.909,0.83310%,20%vvii注容易证明：当所有某一方向的资金流均在另一方向的资金流之前，具体地说，也就是一笔业务的前一部分，所有净付款都是同一符号，而后一部分都是相反符号时，收益率是唯一的。补充知识：一元n次实代数方程的笛卡儿法则：方程的正实根的个数或者等于在系数系列a0,a1,…,an中符号改变的数目Na,或者小于Na且差一个正偶数。如果符号没有改变，则没有正根；如果符号仅改变一次，则有一个正根。0...110nnnaxaxa关于收益率唯一性的更一般的结论,可用以下未结价值分析方法给出.113.未结价值分析在投资期间的每个时刻,既有已发生的现金流,也有未发生的现金流,因此,投资价值的表示一般有两种方法:已发生的现金流的累积或未发生的现金流贴现.对于现金流C0,C1,…,Cn,设Bt为在时刻t的未结价值(未动用投资余额,未偿还贷款余额)，t=0,1,…,n。有下面3种算法:方法1(回朔法)ntBCiBrttssstt,...,1,0)1(0记为方法2(预期法)ntBCvBtntsstspt,...,1,01定理3.1.1设Bt为在时刻t的未结价值，其中t=0,1,…,n。如果Bt0，t=0,1,…,n-1且存在i-1，使(3.1.3)满足，则i是唯一的。反之,如果Bt0，t=0,1,…,n-1且存在i-1，使(3.1.3)满足，则i是唯一的。ntCiBBCBttt,...,1,)1(,100方法3(递推法)例3.1.3一位投资者进入一项契约，他立即付款7000元，第二年末付1000元，以交换第一年末得到的4000元和第3年末得到的5500元。求a)P(0.09);b)P(0.10)c)用定理3.1.1检验在0.09与0.10之间是否存在唯一收益率。年0123Ct7000-40001000-5500Rt-70004000-10005500解：143.1.2再投资分析1.只有一次性投资的再投资分析设初始投资1个货币单位,每个计息期的利率为i(直接投资利率),且投资的回报方式为:逐个计息期收回利息收入,结束时收回本金.同时将每次的利息收入以利率j进行再投资(再投资利率).则投资结束时的总收益为:jnis|1------比较i=j,ij,ij三种情形下的总收益.(p80)p80例3.6500,000元的10年期贷款,年利率8%.如果还款额同时以年利率7%进行再投资,计算以下两种方式的实际收益率:(1)到期一次还清;(2)每年还利息,到期还本金;解:(1)到期一次还清,没有进行再投资的可能,故实际收益率为8%;(2)每年还利息,到期还本金,则包括再投资的终值为元89.1053568)08.01(50000007.0|10s于是实际收益率r满足89.1053568)1(50000010r%728.7r162有分段投资的再投资分析设每个计息期初投资1个货币单位,每个计息期的利率为i,且投资的回报方式为:逐个计息期收回利息收入,结束时收回所有投资.同时将每次的利息收入以利率j进行再投资(再投资利率).则投资结束时的总收益为:jnIsin|)(------比较i=j,ij,ij三种情形下的总收益.(p81)P82例3.7某基金的投资者每年初投入10,000元,共计10年.基金本身的年回报率7%,年底支付.如果利息同时以年利率0.05进行再投资,计算本项投资的实际收益率.解:当再投资率为j时,包括再投资的终值为10|0.0510000(100.07())144900Is元于是实际收益率r满足10|10000144900rs6.65%r18P103,1已知某投资的内部回报率为r,且在该投资中，C0=3000元，C1=1000元，R2=2000元，R3=4000元，计算r.6现有10000元贷款计划在20年内分年度还清，每年还款1000元。如果贷方可以将每年的还款以年利率5%进行再投资，计算贷款方的实际年收益率。答案：1:18%;2.:6.162%19§3.2基金收益率的计算3.2.1.基金概述所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，从事股票、债卷等金融工具投资。一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式与封闭式基金。20封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者须通过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，不能配股。开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份额是不固定的，投资者随时可按该基金的价格购买新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不设定存续期限。开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。课外作业:上网了解我国基金的信息引入记号:设A=基金在期初的金额，B=基金在期末的金额，I=在此时期内赚得的利息金额，Ct=在时刻t投入的本金净金额（可正可负）其中0t1,C=在此时期投入的本金总金额（可正可负）在时刻t投资1在随后的长度为1-t的时期内所赚得的利息金额。ttCCtti)1(233.2.2币值加权利率假定基金在一个时期内以同样的利息强度运行，且假设所有赚得的利息I是在期末接受的，则B=A+C+I。这样对于时期0t1赚得的利息的精确的求值方程应为ttttiiAIc)1(不幸，上式的形式不能直接用来求i，必须找到的值。假设整个时期都是用复利，则有带入上式则得到关于i的精确方程。此方程可用迭代法求解，但计算繁杂。tti)1(1)1(1)1(tttii(3.2.1)在实际中往往用单利作为t1时期复利的近似，从t时刻开始投资1经历(1-t)时段的利息为(1-t)i.故可假定ititt)1()1(于是可得实利率的一个近似解tttCAIi)1(此式中分子是基金中赚得的利息金额，分母则可解释为投资本金的平均金额（加权平均，其权重为到期末需经历的时间长，最大为1)常称为“与i有关的本金”。(3.2.2)(3.2.2)式是可以直接计算的，但分母中的和式加起来比较麻烦，因而常常作出一个进一步简化的假设，即认为本金的存入和抽回在整个投资时期内是均匀发生的，这样平均来说可以假定除期初的A之外，其余净本金投入发生在时刻t=1/2,在此假设下(3.2.2)式变为IBAIIABAICAIi2)(5.05.0(3.2.3)(3.2.3)式是一个重要的公式，它在实际中广泛用来计算赚得的利率。例3.2.1.某年初设计一项投资基金，初始存款为1,000元，4个月之后又存入500元，在第6和第8个月之末分别抽回200元和100元，在该年末基金的总金额为1,272元，试求基金在此年内的两种近似实利率。解:这里4681212121000,1272,500,200,100ABCCC72ttIBAC6%(1)ttIiACt或26.545%IiABI273.2.3．时间加权利率当投资经历变化较大时，币值加权利率给出的收益率计算方法对于不同时段的投资金额是敏感的，例如，假定在得益较高时恰巧“大量”投资，而在得益较低时则“小量”投资，则总体收益率会较高，反之则较低。例3.2.3.设有一项基金，若年初购买，其价格在第6个月末跌至一半，而年末又回升至原价位①投资者A年初购买1000元，第6个月末又购买500元，到年末他拥有2000元的基金②投资者B，年初购买1000元，第6个月末抽回250元，到年末他拥有500元的基金。分别求①、②的收益率。解:6121)1000,500,2000ACBtttCAIi)1(2000100050040%61000500126122)1000,250,500ACBtttCAIi)1(500100025028.67%610002501229时