人教版高中数学选修21：3.2.3直线与平面的夹角

预习导学3.2.3直线与平面的夹角预习导学课堂讲义当堂检测高中数学·选修2-1·人教B版3.2.3直线与平面的夹角预习导学3.2.3直线与平面的夹角预习导学课堂讲义当堂检测[学习目标]1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念．2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．预习导学3.2.3直线与平面的夹角预习导学课堂讲义当堂检测[知识回顾]怎样求两条异面直线所成的角？答案(1)几何法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设a、b分别为异面直线l1、l2上的方向向量，θ为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|.向量法包括了“基向量法”与“坐标法”预习导学3.2.3直线与平面的夹角预习导学课堂讲义当堂检测[预习导引]1．线线角、线面角的关系式如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的________．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为____________________(*)在上述公式中，因0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ.正射影cosθ1cosθ2cosθ＝预习导学3.2.3直线与平面的夹角预习导学课堂讲义当堂检测2．最小角定理_____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中__________．3．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_____．(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_____．(3)斜线和它在平面内的______________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).斜线射影最小的角90°0°射影所成的角课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角知识点一用定义求线面角例1在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．解如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O、G为垂足．∴AO=2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.∵△BCD是正三角形，∴O为△BCD的中心，连接OD并延长交BC于F，则F为BC的中点．令正四面体棱长为1，可求得CE＝32，DF＝32，OD＝33，AO＝AD2－OD2＝1－39＝63，∴EG＝66，在Rt△ECG中，sin∠ECG＝EGCE＝23.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角规律方法利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角跟踪变式1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．解取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，设PD＝DC＝a，∵M为DC的中点，∴CM＝12a课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角∴BM＝a24＋a2＝52a又ME＝12PD＝12a，∴BE＝54a2＋14a2＝62a∴在Rt△BME中cos∠MBE＝BMBE＝52a62a＝306∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为306.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角知识点二由公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角例2已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝32a，求证：A1O⊥平面ABCD.证明∵菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，∴AC为∠BAD的平分线，且AO＝32a，∴∠BAC＝30°.又∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∴A1A在平面ABCD上的射影为AC，记∠A1AC＝θ.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角规律方法公式cosθ＝cosθ1·cosθ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2，分别对应图形中的哪个角．则cosθ＝cos60°cos30°＝1232＝33.∴A1Acosθ＝32a×33＝32a＝AO，∴A1O⊥平面ABCD.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角跟踪变式2四面体P-ABC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值()答案DA.12B.2626C.63D.33解析如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB＝∠APC.∴点O在∠BPC的角平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，即cos60°＝cos∠APO·cos30°，∴cos∠APO＝33.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角知识点三向量法求线面角例3如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．解取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，32a，0)，C1(a2，0，2a)，课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角∴AC1→＝(a2，－32a，2a)．取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴CM⊥平面ABB1A1，∴CM→为平面ABB1A1的一个法向量．∵B(－a2，0，0)，∴M(－a4，34a，0)．又∵C(a2，0，0)，∴CM→＝(－34a，34a，0)．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角规律方法(1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误．(2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．∴cos〈AC1→，CM→〉＝AC1→·CM→|AC1→||CM→|＝－34a23·32a2＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角跟踪变式3如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．解设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图．则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角可得MN→＝(－1，1，－2)．又DA→＝(0，0，2)为平面DCEF的一个法向量，可得cosMN→，DA→＝MN→·DA→|MN→||DA→|＝－63.所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cos〈MN→，DA→〉|＝63.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角A．30°B．60°C．120°D．150°答案A1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12.∴θ＝30°.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()答案C解析建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，A.24B.23C.63D.32当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角A1D→＝(－1，0，－1)．∴AC1→·A1B→＝1－1＝0，AC1→·A1D→＝1－1＝0.∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D1又A1B∩A1D＝A1，∴AC1⊥平面A1BD.∴AC1→是平面A1BD的一个法向量．∴cos〈BC1→，AC1→〉＝BC1→·AC1→|BC1→||AC1→|＝1＋12×3＝63.∴直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为63.∴BC1→＝(－1，0，1)，AC1→＝(－1，1，1)，A1B→＝(0，1，－1)，当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角A．60°B．90°C．105°D．75°答案B3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B162，22，0，C1(0，2，0)，B62，22，1.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角∴AB1→＝62，22，－1，C1B→＝62，－22，1，∴AB1→·C1B→＝64－24－1＝0，∴AB1→⊥C1B→.即AB1与C1B所成角的大小为90°.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角4.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．解由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．当θ＝π3时，在Rt△VCD中，CD＝2，故V(0，0，6)．所以AC→＝(－2，0，0)，VD→＝(1，1，－6)．当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角所以cos〈AC→，VD→〉＝AC→·VD→|AC→||VD→|＝－22·22＝－24.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为24.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法——基向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．2．直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3.2.3直线与平面的夹角3．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2的理解由0≤cosθ2≤1，∴cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ.在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0.∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO.此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例.(2)向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的