6微分方程模型2

第六节微分方程模型(II)•传染病模型•人口问题问题的提出人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况人口问题人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人.我们过去曾认为人多好办事,对呼吁人口增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快。年19081933195319641982199020002008人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.9513.8中国人口增长概况有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况,工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害,战争,人口迁移等等.如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素—增长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合的数学模型.18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后，给出了这个模型。一.模型1(Malthus模型)(指数增长模型)在考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的人口增长过程中，略去前一对人口变化的影响，视净相对增长率是常数。即单位时间内人口增长量与人口数量成正比，比例系数为r.N0：初始时刻t0时的人口数量N(t)：t时刻的人口，设N(t)为连续可微函数1.基本假设2.模型建立在t到时间内人口的增长量为ttttNrtNttN)()()(两端同除以,令，求极限t0t)()()(lim0trNttNttNt即得初值问题00)()()(NtNtrNdttdN解得：00()0()(1)rttttNtNer3.模型求解当r0时，人口按指数规律无限增长，称为指数增长模型种群数量翻一番所用的时间是固定的。00ln22rTNNeTrMalthus模型的特点令种群数量翻一番所用的时间为T,则据统计,1961年世界人口总数为,而在此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此取93.06104.模型检验由得，人口增加一倍所用的时间是34.6年，而实际上从1700-1961年间，统计得人口翻一番的时间是35年。ln2Tr9001961,3.0610,0.02,tNr90.02(1961)()3.0610tNte上式能非常准确地反映了在1700-1961年间世界估计人口总数,假如人口数量真能保持34.6年增加一倍，人口数将以几何级数得方式增长，那么，到2510年，人口达到2×1014，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，到2670年人口达到36×1015，那时，只好一个人站到另一个人的肩膀上排成两排了。5.模型预测马尔萨斯模型对1700-1961年的人口总数是对的，但对未来的人口总数预测不正确，应予以修正。二、logistic模型(阻滞增长模型)由上面分析，马尔萨斯人口模型对1700-1961年间人口总数的检验是对的，而未来的人口总数预测又是错的，原因何在?地球上各种资源只能供一定数量的人生活，随着人口的增多，自然资源、环境条件对人口增长起阻滞作用，并且随着人口的增多，阻滞作用越来越大。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。分析对指数增长模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。1.模型修改2.模型建立假设r随着人口数量N得增加而下降，r=r(N)为减函数，于是Malthus模型改为()(00)rNrsNr,s对r(N)得最简单假设是设r(N)为N的线性函数。00()()()()dNtrNNtdtNtNrNrN)(,0令Nm为人口的最大容纳量,)(0rNrN时，当r表示人口的自然增长率当N=Nm时人口不再增加，即r(Nm)=0,0msNrmrsN即()(1)mmrNrNrNrNNLogisitic模型00)()1()(NtNNNNrdttdNm阻滞因子变量分离rdtNNNdNm)1(rdtdNNNNm)11(CrtNNNmlnCtrmeCCeNNN,3.模型求解积分由初始条件，得000trmeNNNC0()0()1(1)mrttmNNtNeNoNdtdNNNNrdttdNm)1()(2mNrmN4tNoN0NmNm/2tm人口增长最快点00t，取dNNdt曲线Nt曲线(1)当时，。即无论人口初值如何，人口总数最终趋向于Nm。t()mNtN4.模型分析(3)在人口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。(2)当时，。所以N(t)是时间t的单调递增函数。00mNN(1-)0mdNNrNdTNLogisitic模型的缺点：Nm不易确定，随着生产力的发展，Nm逐渐增加。随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高峰到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，建立模型2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家关注的课题。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。设时刻t的病人人数I(t)是连续、可微函数，每天每个病人有效接触(足使人致病)的人数为，考察t到△t时间段病人人数的增加()()=()IttItItt模型10,(0)dIIdtII上述方程的解为0()tItIe随着t的增加，病人人数I(t)无限增长，这显然不符合实际。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。设t=0时有I0个病人，则有微分方程模型2（SI模型）模型假设2.每个病人每天有效接触的平均人数占健康人的比例是常数，称为感染率。当病人与健康者接触时，可使健康者受感染变为病人。1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人数分别记作S(t)和I(t)。0(0)II()()dSStItdt()()StItN由假设，每个病人可使个健康者变为病人，病人数为，则每天有个健康者变为病人，即健康者的减少速度()st()It()()StIt()()dIStItdt病人增加的速度()()StItN000(0),(0)IISSNI00(0),(0)IISS分离变量，积分，得1lnStCNNS()dSSNSdt代入初始条件0(0)SS001lnSCNI代入上式，得模型建立000()NtNSStSIe传染病流行曲线000()()NtNIItNStISe图1SI模型的I～t曲线图2SI模型的～I曲线dIdttmtN2N0IIOIdIdtmdIdt2NNO模型分析由图2可知，当时，达到最大值/2INdIdt(1)流行曲线的峰值与出现峰值的时间.0002NtNINIISe即0021NtSeI001lnmSttNI这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。与成反比，增大或总人数增多，可使传染病高峰期提前，而反映当地的卫生水平，越小，卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。mt,N(2)当时，，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。tIN有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称SIS模型。SIS模型的假设条件1，2与SI模型相同，增加的条件为模型3（SIS模型）模型假设3．每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然是这种传染病的平均传染期。1/由假设3，SI模型应修正为0()(0)dIINIIdtII令：相对移除率()[()]dIINIINIdt传染病流行曲线图3SIS模型的I～t曲线图4SIS模型的～I曲线dIdttmtN2N0IIOIdIdtmdIdt2NNO通过图形分析病人数I的走势大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，他们已经退出传染系统。1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。时刻t三类人数分别为S(t),I(t)和R(t)，开始时病人数I0,健康者S0,没有移出者。模型4（SIR模型）模型假设()dRItdt模型建立()()dSStItdt()()()StItRtN00(0)(0)SISIN()()()dIStItItdt一阶非线性微分方程组，不易得出解析解，下面做定性分析。2.每个病人每天有效接触人数占健康人的比例为。3.从病人中移出的速率与当时病人数成正比，比例系数。模型分析(1)，即对任何时刻t,。0dSdt0()StS(2)，()dIISdt：相对移除率若，0S则，00tdIdt即一开始感染人数不会由于，0()StS增加，在这种情况下，疾病不会流行。所以，恒有，0()0dIISdt当时，0S疾病才有可能流行，可见相对移除率反映了疾病能否流行的临界值(阈值)。若某，则0()St0000()00ttdIISttdttt疾病流行完全终止。表明之前感染人数在增加，之后在减少，疾病基本得到控制。0t0t(3)若，则()0It0dSdIdRdtdtdtlnRSC表明有移除的情况下，传播终止后，并不是所有的健康者都成为病人或移除者。由初始条件，得，0R0SS0lnCS0()RStSe当时t由得dSSIdtdRIdtdSSdR()00()0RNSSeSe(4)S与R之间