2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式•双向固基础•点面讲考向•多元提能力•教师备用题返回目录考试大纲返回目录1．了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用．3．掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．4．能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用．5．掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明.1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝__________________________．(2)cos(α±β)＝__________________________．(3)tan(α±β)＝_____________________________.第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式•双向固基础返回目录sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．公式的逆用及重要变形(1)cosαcosβ－sinαsinβ＝__________________．(2)tanα＋tanβ＝________________________．(3)asinx＋bcosx＝__________________________.3．角的变换2α＝______________＝______________，α＝______________＝______________．4．1的变形1＝_____________.第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式•双向固基础返回目录cos(α＋β)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba(α＋β)＋(α－β)(2α＋β)－βsin2α＋cos2α（α＋β）＋（α－β）2(α＋β)－β5．倍角公式sin2α＝________________．cos2α＝________________＝__________________＝________________．tan2α＝____________．•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式返回目录2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α6．降幂公式与升幂公式sin2α＝______________，cos2α＝______________．1＋cos2α＝____________.1－cos2α＝____________．第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式•双向固基础返回目录1－cos2α21＋cos2α22cos2α2sin2α——链接教材——•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[答案]6＋24返回目录1．sin75°的值为________．[解析]sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[答案]4－3310返回目录2．已知cosα＝－35，α∈π2，π，则sinα＋π3的值是________．[解析]cosα＝－35，α∈（π2，π）∴sinα＝45，sin（α＋π3）＝sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝45×12＋（－35）×32＝4－3310.•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[答案]12返回目录3．计算sin43°cos13°－sin13°cos43°的值等于________．[解析]原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式4．已知sinθ＝35，θ为第二象限角，sin2θ的值为________．[答案]－2425返回目录[解析]sinθ＝35，θ为第二象限角，∴cosθ＝－45，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2×35×（－45）＝－2425.——疑难辨析——•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．不注意公式的适用范围致误(1)当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ成立；若α，β为任意角，cos(α－β)＝cosα＋cosβ也成立．()(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意角都适用．()返回目录•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[解析](1)取α＝π2，β＝π3，则cos(α－β)＝cosπ6＝32，cosα＋cosβ＝12，等式不成立．(2)公式S(α±β)与C(α±β)对任意角α，β均适用，在公式T(α±β)中，要求tanα，tanβ，tan(α±β)都有意义，即α，β，α±β都不等于π2＋kπ(k∈Z)．[答案](1)×(2)×返回目录•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．公式变形中的误区(1)判断下列各式化简的结果是否正确：①12cosx－32sinx＝cosπ3－x；()②1－tanα1＋tanα＝tanα－π4.()(2)用tanα表示sin2α，cos2α，得sin2α＝2tanα1－tan2α，cos2α＝1＋tan2α1－tan2α.()(3)对任意角α，有sinπ4－α＝cosπ4＋α.()返回目录•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[解析](1)①12cosx－32sinx＝cosπ3cosx－sinπ3sinx＝cos（π3＋x）.②1－tanα1＋tanα＝tanπ4－tanα1＋tanπ4tanα＝tan（π4－α）＝－tan（α－π4）.[答案](1)①×②×(2)×(3)√返回目录•双向固基础第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α.(3)由公式，有sin（π4－α）＝sinπ4cosα－cosπ4sinα＝22(cosα－sinα)，cos（π4＋α）＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22(cosα－sinα)，故等式成立．返回目录••点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式例1(1)[2013·徐州、宿迁三检]在△ABC中，已知cosA＝45，tan(A－B)＝－12，则tanC的值是________．(2)[2013·苏州期末]已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．返回目录►探究点一两角和(差)的正弦、余弦及正切公式•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式［思考流程］(1)第一步：根据cosA＝45，求出tanA．第二步：根据tan(A－B)＝－12，求出tanB．第三步：再根据A＋B＋C＝π，求出tanC.(2)第一步：先确定θ的范围．第二步：算出cos(2θ＋30°)的值．第三步：再用和差角公式求解．[答案](1)112(2)17250返回目录第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[解析](1)由已知得sinA＝35，tanA＝34，所以tanB＝tanA－tan（A－B）1＋tanAtan（A－B）＝2，所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝112.(2)由已知得cos(2θ＋30°)＝1－2×452＝－725.因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝4532，所以θ＋15°60°，所以θ45°，从而可知2θ＋30°120°，因此sin(2θ＋30°)＝2425.故cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250.•点面讲考向返回目录第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[归纳总结]本题用三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力．在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．•点面讲考向返回目录•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式变式题(1)已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tan（α＋π4）＝________．(2)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2＜α＜0，则cosα＝________．返回目录[答案](1)322(2)33－410•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[解析](1)tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）tanβ－π4＝322.返回目录•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)因为sinα＋π3＋sinα＝－435，所以sinαcosπ3＋cosαsinπ3＋sinα＝－435，化简得32sinα＋32cosα＝－435，即32sinα＋12cosα＝－45，即sinα＋π6＝－45.又因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，所以cos（α＋π6）＝35.故cosα＝cos（α＋π6－π6）＝cos（α＋π6）cosπ6＋sin（α＋π6）sinπ6＝35×32－45×12＝33－410.返回目录••点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式例2[2013·广东十校一联]已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．返回目录•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式［思考流程］(1)条件：给出两个角的正切值和余弦值．目标：(1)求两角和的正切值，(2)求f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．方法：(1)由cosβ导出tanβ，利用两角和的正切公式求得结果；(2)求出α，β的正余弦值，利用两角和与差的正余弦公式展开，将α，β的正余弦值代入表达式，再求最值．解：(1)由cosβ＝55，β∈(0，π)，得sinβ＝255，tanβ＝2，于是tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.返回目录第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)因为tanα＝－13，α∈(0，π)，所以sinα＝110，cosα＝－310.因为f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)＝2sinxcosα－2cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ，所以f(x)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx，所以f(x)的最大值为5.•点面讲考向返回目录第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式［归纳总结］(1)对公式要会“正用”“逆用”“变形用”．(2)应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其关键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式．(3)已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围，然后求取值范围内的一个三角函数值，最后由三角函数值求角的值．(4)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式结合，综合考查三角函数求值问题．•点面讲考向返回目录••点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式例3(1)[2013·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．(2)[2013·盐城模拟]已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π4的值为________．返回目录►探究点二二倍角的正弦、余弦及正切•点面讲考向第19讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式返回目录[思考流程](1)第一步：先根据sin2α＝－sinα，求出cosα