届高三数学(理)二轮复习 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)(解析版)

基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，1y=x的图象，了解它们的变化情况．2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.1.课本结论总结：指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amnmna(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是1amnnma(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝aalogNlogb(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1bloga，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域244acba，244acba，单调性在x∈2ba，-上单调递减；在x∈2ba，上单调递增在x∈2ba，上单调递减在x∈2ba，-上单调递增对称性函数的图象关于x＝2ba对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数性质y＝xy＝x2y＝x312yxy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较．（7）函数y＝f(x)对称轴的判断方法1、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x22对称．2、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A版第70页，B组第2题指数函数xbya的图象如图所示，求二次函数2yaxbx的顶点的横坐标的取值范围．答案：由图可知指数函数xbya是减函数，所以01ba．而二次函数2yaxbx的顶点的横坐标为122bbaa，所以1022ba，即二次函数2yaxbx的顶点的横坐标的取值范围是102，．【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合(2)新课标A版第60页，B组第4题设31212,,xxyaya其中0,1.aa且确定x为何值时，有：12;(1)yy12(2).yy【解析】（1）3x+1=-2x时，得x=-15;oyx1(2)1a时，xya单调递增，由于12yy，得3x+1-2x得x-15,01a，xya单调递减，由于12yy，得3x+1-2x解得x-15．【经典理由】根据a的取值进行分类讨论(3)新课标A版第72页，例8比较下列各组数中两个数的大小：（1）log23.4与log28.5；（2）log0.31.8与log0.32.7；（3）loga5.1与loga5.9(0a且1a)．解：（1）∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数且3.4＜8.5，∴log23.4＜log28.5；（2）∵y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数且1.8＜2.7，∴log0.31.8＞log0.32.7；（3）解：当1a时，∵y=logax在(0,+∞)上是增函数且5.1＜5.9，∴loga5.1loga5.9，当0＜a＜1时，∵y=logax在(0,+∞)上是减函数且5.1＜5.9，∴loga5.1＞loga5.9．【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用(4)新课标A版第822页，A组第10题已知幂函数()yfx的图象过点222（，），试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．【分析】根据幂函数的概念设()nfxx，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．【解析】设()nfxx,因为幂函数()yfx的图象过点222（，）,212,22nn，这个函数解析式为12yx．定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，所以，y=f（x）是非奇非偶函数．当x＞0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图．【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力6.考点交汇展示：(1)基本初等函数与集合交汇例1【河北省“五个一名校联盟”2015高三教学质量监测(一)1】设集合023A2xxx，822Bxx，则()A.ABB.ABC.ABD.AB【答案】B考点：1.一元二次不等式解法；2.指数不等式解法；3.集合间关系与集合运算.例2设集合}032{2xxxM，}1log{2xxN，则MN等于(A)}31{xx(B)}21{xx(C)}10{xx(D)}20{xx【答案】D【解析】M＝}31{xx，N＝}20{xx，故MN＝}20{xx考点：1.简单不等式的解法；2.对数函数的性质；3.集合的运算.(2)基本初等函数与基本不等式交汇例1【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）】已知二次函数)R(4)(2xcxaxxf的值域为)0[，，则ac91的最小值为.【答案】3【解析】由题意得：191916404,23acaccaca.考点：1.二次函数的图象和性质；2.基本不等式.【考点分类】热点1指数函数、对数函数1.【2015高考四川，理8】设a，b都是不等于1的正数，则“333ab”是“log3log3ab”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B考点:1.充要条件；2.指数函数、对数函数的性质.2.设0,1aa且，函数1()log1axfxx在(1,)单调递减，则()fx（）A．在(,1)上单调递减，在(1,1)上单调递增B．在(,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减C．在(,1)上单调递增，在(1,1)上单调递增D．在(,1)上单调递减，在(1,1)上单调递减【答案】A【解析】由11221111xxyxxx的图像可知，函数在在(,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，在(1,)单调递增，因函数1()log1axfxx在(1,)单调递减，故根据同增异减可知，01,a故答案为A．考点：1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性.3.【2014辽宁高考理第3题】已知132a，21211log,log33bc，则（）A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】C【解析】试题分析：1032122110221,log0,loglog31,33abc所以cab，故选C.考点：1.指数对数化简；2.不等式大小比较.4.下列函数中，在(0),内单调递减，并且是偶函数的是（）A．2yxB．1yxC．lg||yxD．2xy【答案】C考点：函数奇偶性与单调性．【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．【易错点睛】1.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定