第1章 动态系统的状态空间描述(2版)

第1章动态系统的状态空间描述1.1引言1.2动态系统的状态空间模型1.3动态系统数学模型变换1.4离散系统的状态空间描述1.5MATLAB在系统数学模型变换中的应用1.1引言经典控制理论(线性、定常、SISO系统)现代控制理论（线性、定常、SISO系统非线性、时变、MIMO系统）1.2动态系统的状态空间模型1.2.1状态空间的基本概念1.2.2动态系统状态空间表达式的一般形式1.2.3状态空间模型的图示1.2.4由系统机理建立状态空间模型示例1.2.1状态空间的基本概念1.系统的基本概念2.动态系统的两类数学描述3.系统状态空间描述的基本概念1.系统的基本概念■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。2.动态系统的两类数学描述(1)外部描述-经典控制（微分方程）外部描述通常称为输入、输出描述，这种描述将系统的输出取为系统外部输入的直接响应，回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。考察图1-4所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。图1-4n级RC网络buyayayaynnnn)1(1)1(1)(（1-3）在已知输入u的情况下，解方程式（1-3），可求出输出响应y,但不能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程。系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3)所示的高阶线性常系数微分方程,即(2)内部描述-现代控制（状态空间）状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成:①一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn和输入变量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程。其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组;②另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym转换关系的数学表达式，称为输出方程。其数学表达式的形式为代数方程。x)1(122222211111111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu（1-4）cnLLuRRRy0(1-5)在已知输入u的情况下，解方程式（1-4）、式（1-5）,不仅可求出输出响应y，而且能获悉系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网络系统的一种完全描述。状态方程输出方程重新考察图1-4的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组3.系统状态空间描述的基本概念(1)动态系统的状态动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。【例1-1】确定图1-5所示电路的状态变量。要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。图1-5RLC电路(3)状态向量设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，将这些状态变量视为向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为)()()(1txtxtnx(4)状态空间以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。(5)状态轨迹状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。(6)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态方程。【例1-2】建立图1-5所示RLC电路的状态方程取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有)()()(d)(d)(d)(dtututRittiLtittuCcc(1-6)将式（1-6）中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc(1-7)式（1-7）即为图1-5所示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc(1-8)式（1-8）可简写为)(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，，uBAxx(1-9)式中,LRLC110AL10B,列写状态方程的一般步骤：（1）确定状态变量（完全、确定的描述系统的最小独立变量个数）；（2）由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组；（3）写出状态变量的导数在等式左端、状态变量在等式右端的标准形式。(7)输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式称为系统的输出方程。例1-2中，若指定uC(t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为1)()(xtutyc(1-10)将式(1-10)写成写成向量-矩阵形式,得)()(01)(titutyc2101xxy或(1-11)式（1-11）可简写成Cxy(1-12)式中,]01[C。列写输出方程的一般步骤：（1）写出输出与状态变量的表达式；（2）将该表达式写成矩阵形式。(8)状态空间表达式状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图1-5所示电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为2121210110110xxyuLxxLRLCxx(1-13)输出方程状态方程为正确理解状态空间的基本概念,应注意如下几点:■系统输出和系统状态在概念上的不同■状态变量的非惟一性■任意两组状态变量之间的关系同一系统所任意选取的两个状态向量之间为线性非奇异变换关系。■线性非奇异变换下，系统任意两个状态空间表达式的关系系统的状态空间表达式不具有惟一性,选取不同的状态变量,便会有不同的状态空间表达式,但它们均描绘同一系统。对于一个动态系统，一组状态变量下的状态空间表达式可用另一组状态变量下的状态空间表达式经线性非奇异变换得到。(9)工程问题中状态变量的选取■状态变量可以用来直接描述系统能量。动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含有储能元件,因而,动态系统是一个能存储输入信息的系统。对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言,其状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数,即系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。在交流电路中,平均功率为0,也就是无功率消耗,无能量的消耗,只有能量的转换.所以称为储能元件（储能元件：电容（存储电荷）、电感（存储磁通引起的材料极化能）、化学电池）■状态变量是可以直接被测量的。状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态变量为宜，例如,选择机械系统中的线（角）位移和线（角）速度作为状态变量，电路中电容上的电压和流经电感的电流作为状态变量。1.2.2动态系统状态空间表达式的一般形式1.单输入单输出线性定常连续系统2.多输入多输出线性定常连续系统3.多输入多输出线性时变连续系统4.非线性系统1.单输入单输出线性定常连续系统设单输入（u）单输出（y）线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t)，各个系数为常数。状态方程的一般形式为（1-23）ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程的一般形式为Duxcxcxcynn2211(1-24)则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121(1-25)式(1-25)简记为DuyuCxBAxx(1-26)式中,T21nxxxx为n维状态向量;nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A称为系统矩阵或状态矩阵（反映系统内部状态的联系）;nbbb21B称为输入矩阵或控制矩阵（反映输入对状态的作用）；][21ncccC称为输出矩阵或观测矩阵（建立输出和状态的联系）；D是标量，反映输出与输入的直接关联。DuyuCxBAxx(1-26)2.多输入多输出线性定常连续系统对于有r个输入u1,u2,…,ur,m个输出y1,y2,…,ym的多输人多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111(1-27)输出方程的一般形式为rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111(1-28)则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为rmrmmrrnmnmmnnmrnrnnrrnnnnnnnnuuudddddddddxxxcccccccccyyyuuubbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx