特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用

特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用特殊三角形•等腰三角形•等边三角形•一般的直角三角形•等腰直角三角形•有30°角的直角三角形•顶角为120°的等腰三角形特殊角•30°150°•45°135°•60°120°特殊角三角形可分两类：1、只有一个特殊角的三角形2、有两个特殊角的三角形注：此处不包括特殊三角形1、只有一个特殊角的三角形30°43BCA45°432BAC60°627BAC150°334ABC135°632ABC120°45ABC1、只有一个特殊角的三角形30°43BCAD45°432BACD60°627BACD150°334ABCD135°632ABCD120°45ABCD1、只有一个特殊角的三角形•一个特殊角需要两条已知边•辅助线：高（特殊角其中一条边上的高）•变成两个直角三角形，其中一个是有特殊角的直角三角形2、有两个特殊角的三角形45°30°6BCA45°60°4BCA135°30°32ACB45°120°4ACB2、有两个特殊角的三角形45°30°6BCAD45°60°4BCAD135°30°32ACBD45°120°4ACBD2.有两个特殊角的三角形•两个特殊角需要一条已知边•辅助线：高（两特殊角公共边上的高）•变成两个直角三角形，且两个都是有特殊角的直角三角形干嘛使？---求值！求哪些值？•求边•求角•求面积•等等等...例1、(2014年海淀区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=4，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．（1）求四边形ABCD的面积；（2）求BD的长．点评：第1问求两个特殊三角形的面积和第2问找出BD所在的三角形，然后过滤特殊三角形与特殊角三角形，就能发现如△ADB就是一个有120°角，且有边AD，AB已知的特殊角三角形，问题迎刃而解！ABCD例2、（2012年北京中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积．点评：找特殊三角形和特殊角三角形，发现△ABE为等腰三角形，△ABC为一般的直角三角形，而△DEC则有两个特殊角，且有DE这条边已知，问题即可迅速解决。222例3、(2015年海淀一模)如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值点评：第1问此处略去100字，第2问，只需找出△ABE这个特殊角三角形就可解决FBCAED例4、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．点评：第1问真的懒得看哈，第2问，发现△APD为特殊角三角形有木有？综合练习、如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，证明：BQ=AP；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，第（1）问的结论是否任然成立，若不成立请说明理由；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．图1图2图3QPEDCBAQPEDCBAQPEDCBA例5、(2014年朝阳区一模)如图，△ABC中，BCAC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．（1）求证：EF∥BD；（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．点评：此题中非常简单，大家瞧一眼就会吧。FEABCD例6、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半BCADGEFH例7、（2014顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．点评：发现图形是一个30°角的直角三角形，补全这个直角三角形就可解决问题ADCBADCBE例8、已知：如图，为等边⊿ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5，求∠APB的度数。点评：根据已知条件的三条边的关系想着去构造直角三角形，此处运用旋转的思想构造特殊三角形CABPCABPp'例9、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数。点评：思路跟前面一题思路一样，只是等边三角形旋转构造特殊三角形旋转60°，等腰直角三角形或正方形则旋转90°。BCADPBCADPP'例10、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长。点评：此题通过观察特别像手拉手模型因此想办法补全模型，因为∠ADC=30°，结果还能发现AD⊥DE，从而构造出了直角三角形，而根据手拉手模型求BD等价于求AE。CABDCABDE例11、如图，三角形ABC，∠BAC=30°，AP=3，在AB,AC边上分别取D,E两点，连接PD,DE,PE，求△PDE周长的最小值点评：最短距离问题，运用两点之间线段最短∠BAC=30°，对称之后自然就是等边了BCAPBCAPP'P''例12、如图：在⊿ABC中，∠C=900，∠CAD=300,AC=BC=AD,求∠CBD的度数。点评：又是30°，对称翻折就能出等边了，因此如图所示将△ABD翻折到△A'BD，证下△AA'D≌△ACD就好了。CABDCABDA'例13、如图：在⊿ABC中，AD是边BC上的高，BD=2，DC=3，∠BAC=45°，求AD的长，以及△ABC的面积。点评：45°，翻折就成90°了，因此可如此翻折构造特殊三角形，在直角三角形BPC中运用勾股定理解决问题ABCDD'PAD''BCD总结•求值问题先找三角形•过滤出特殊三角形或特殊角三角形•特殊边长与特殊角考虑构造特殊三角形•构造可选旋转与翻折等等你们才是大师，我只希望我的课堂能给大家起到点抛砖引玉的作用就非常开心了，欢迎各位批评指点。谢谢大家！THEEND