量子力学习题

量子力学习题与解答2005年9月1日绪论补充：1.证明Plank公式在高频区化为Wein公式，在低频区化为Rayley-Jeans公式。证明：Plank公式为或写为其中,在高频区,,----Wein公式在低频区，----R-J公式2311cTcdd138hcc2hck1hkT231cTcd211hvkThvvckTT2332111/221/cvTcvdvcvdvcdTvdvecvTc2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式解：角动量量子化条件，nE222(1)()2nsLnrvevrr向心力（）2(1)22222222222422*(2):()()()(4)()(5)222(4)(5)2snnnssssnsneLnrvrrrnreeeepvErrreEn又由代入得:3.粒子被限制在长宽高分别为的箱中动，试由驻波条件求粒子能量的可能值。解：驻波条件同理，123,,aaa22pE1111,22xxxnhhanpa，2233/2,/2yzpnhapnha123,,1,2,3nnn222222223121231()()()()222222xyznnnphEpppaaa222222222331212123123[()()()][()()()]82nnnnnnhEaaaaaa第一章补充：1.设和分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态时的相对几率分布。a，b为复常数，为实函数。解：()11()ixtafxe()22()ixtbfxe1212,ff2222()()1212**()**()12122222*()*()1212()()221212212()()[]2,,4()()*(2)*(2)24()()4ixtixtixixixixixixafebfeabffeabffeafxbfxabeabeffabieefxfxffiiifxfxf代入1sin()fx2.试将下列波函数归一化：解：122/20(1)(2)00(3)()()0xxAxexAexxAxaxxa，，，，22222222222222()00200/21/41/412()211,,xxyxyrrrxdxAedxAIIedxedyedxdyerdrdredeIAe222201,()xdxAxedx分部积分322222220002222220002223303/23/2[2]211[]221442,02,0,0xxxxxxxxAAxedxxexedxAAxeedxedxAAexexAx3222222300004425250002552()()[()()]33222[()]3*43*43*4*5303030,aaaaaaaxxdxAxaxdxAaxxaxdxxxAaAaxdxxAAaa第二章2.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：********0(1),(2),(3)010wJtEiEttiEiEttiwEEtttiiwJtJJ定态：取复共轭：-定态几率密度分布不随时间变化，即：由()，，与时间无关，即为与t无关的常矢量。2.2由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波。解：121211(1),(2)ikrikreerr******111121()()2211sin()2[()()]2[(2rrikrikrikrikrrikrikriJppeeerrreriJieeeeerrrrrrieerr1111其中，由于=(r)与方向无关，(r)2)()]ikrikrikrikrrikeeeikeerrrr2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。其中解：定态schr.eq由波函数有限性要求，(1)式改写为222121211111[()()]2,()rrrriikikkJeerrrrrrrJeJeJJ平行于发散波，反平行于，收敛波取上号，取下号0()0,0xuxxaxa，，uoaⅠⅡⅢ222()(1)2duxEdx0,(0,)(2)xxa22()()0,(0)(3)Exxxa2222222,0(4)cossin(5),:(0)(0)0,()sin(6)()()sin0,0,sin0,1,2,3,(7)()sin,(0)(8):1sinEAxBxAxBxaaBaBanannanxBxxaadxB令则解为由波函数的连续性要求即归一化220021cos1222(9)aanxnaaxdxBdxBaBa2.4证明（2.6-14）式中的归一化常数是。证：002()sin0,1,2,(10)0(,)()niEtxnxxxanaaxaxtxe波函数其中定态波函数2222222222222(11)2,1,2,(12)2(,)()(13)nintanEanEnaxtxe2由(4)式和(7)式:能级1Aa2222sin()121aandxAxadxAaaAa2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程(分别求出奇宇称和偶宇称解)。解：定态schr.eq00Eu00,()0,uxauxxaoa-au0ⅠⅢⅡ2222()(1)22()()0(1)duxEdxEux20,,220(2)2()0(3)ExauExa即22022,()(4)2()2,()(5)ikxikxxxxAeBexauEEkxaebexa令，解为:(),0(6)(),0(7)()()()4(8)sin()xxxxaaebxabeauxuxuxBABABAAkxx根据波函数的有限性：时，0，有，否则又由于势能关于原点左右对称：波函数应具有确定的宇称即在（）式中，,可取，奇宇称波函数9cos10lnlncos,cot(12)sinsin,tancosaaaaBkxxabeAkkakabeAkakbeAkkakabeAkak()，偶宇称波函数()利用波函数连续性条件，在处:()=()(11)-对奇宇称解：-对偶宇称解：(13)所以，(12)+(13)和(13)+(14)分别为确定奇偶宇称束缚态能级的两组超越方程，经图解法求出束缚态的后，可由(15)得出对应的能级。2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为求束缚态能级满足的方程。220222(),,223(14)(15)2xxaexaukkE由于在处连续不给出新的结果又由（）式和（）式，有而,knE010()0xuxauxuaxbxb，，，，解：22221()(1)22()0(2)0,(3)duxEdxEuEEuxbaou0ⅠⅡⅢⅣ-u122200222222112222()02()2()00(4)2()2()002()VEuuuEuEEuEukkE，，令，令224422()00VVVE，令根据波函数的连续性：442222344()00(5)()0(6)()sin()(7)()xxVxxxAshxBchxxaxAkxaxbxAeBexb（由的有限性,连续性）解为(8)22(0)(0)0,0,0(9)BA中442234222220,(ln)sin()(10)cos()cot()(11)sin()cos()sin(xVAxaxbAshxAkxBechakkacthakkashakakkbkb又根据波函数有限性要求：要求分别在和的边界上连续44cot()(12))kka补充：1.方势阱的透射与共振：入射粒子E0，势阱深度-V0，宽a。求透射系数T，并讨论T的极大，极小条件。解：22012222142242202422()(13)42(14)(11),(12),(13),(14),442(14)(15)uukukku又由（）式：式中，，，为待求量，个方程个未知数，此四式为决定束缚态能级的方程。或将换为：00()00Vxauxxxa，，或E-V0oax当粒子能量E入射高度为u0的势垒(Eu0)时，透射系数为：，其中此公式也适用于势阱的透射，只须改定义即在k′表达式中以-V0替代势垒高度u0。讨论:(1)V0=0时，k′=k，T=1，此时无势阱。T=1验证公式正确(2)V0≠0时，T1，粒子不能以100％的几率透过势阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。(3)当，即，T=1，取极大值，称为共振透射;;当V0较大，n较小，则可能存在En0状态，即束缚态。221T=11sin4kkkakk（-）022EuEkk（），02EVk（）20R2sin0ka,1,2,3kann222022nnEVa当，即，T取极小值;。2.利用厄米多项式的递推关系证明线性谐振子波函数满足下列关系：证：(1)2sin1ka1(),0,1,22kann222021()22nnEVa1112202nnnnnHHnHHnH，111111()[()()](1)221()[()()](2)22nnnnnnnnxxxxdnnxxxdxx22222212112211()()2!1()()(2)2xnnnnnxxnnnnnnxNeHxNnxxNexHxNenHH，其中(2)222212111211111111[]22!2!2(1)1[]222(1)!2(1)!11[()()]22xnnnnxnnnnnnenHHnnnneHHnnnnxx