chap7 非线性系统的分析

第七章非线性系统的分析1主要内容•非线性控制系统概述•常见非线性特性•描述函数法2§7.1非线性控制系统概述与线性系统的本质区别:非线性控制系统不满足叠加原理3§7.1非线性控制系统概述非线性系统用非线性微分方程来描述,采用非线性理论进行研究。1110111101()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdctdctdctaaaactdtdtdtdrtdrtdrtbbbbrtdtdtdt1111()()()(,,,,,())()()()(,,,,,())nnnnmmmmdctdctdctftctdtdtdtdrtdrtdrtgtrtdtdtdt线性微分方程非线性微分方程41.非线性系统的特征一、稳定性方面线性系统系统非系统结构和参数初始条件无关初始条件相关5非线性系统：1.初始条件1情况下响应过程为衰减振荡。2.初始条件2情况下为单调衰减。6如某系统数学模型为非线性方程为：000()1ttxextxxex(t)t00ln1xx10平衡状态：X(t)=1(不稳定)X(t)=0(小范围稳定)X01X017二、自激振荡定义：非线性系统在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持。8三、非线性系统的正弦输入响应1.线性系统的输出——与输入信号同频率的正弦信号。2.非线性系统的输出——一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象。输入信号倍频信号分频信号ttt倍频振荡与分频振荡91）相平面法——用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。2）描述函数法——基于频率的分析方法，用于研究非线性系统稳定性和自振荡问题。3）李亚普诺夫第2法——适于线性，非线性系统，通过求解李亚普诺夫函数，进而判别系统的稳定性。2.研究非线性系统的方法107.2典型非线性特性饱和特性死区特性间隙继电特性111饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性122死区特性也称为不灵敏区133间隙特性144继电特性0Mx1理想的继电特性x215具死区的继电特性x1-e0e00x216具有磁滞回环的继电特性x1-e0e00x217具有磁滞回环和死区的继电特性x2x1-e0-me00me0e0M18§7.3描述函数法基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波分量来近似。研究内容：主要用于分析非线性系统稳定性、自振荡特性。19非线性环节的正弦响应y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)201.描述函数的定义y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)=A0+∑Yn(sinnωt+φn)n=1∞∞n=122nnnBAY200)(21tdtyAtdtntyAn20cos)(1tdtntyBn20sin)(1若A0=0，且当n1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量！1111X(t)=Asinωty(t)≈Y1sin(ωt+φ1)非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式描述函数定义：正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比，用N(A)表示。y(t)A1cost+B1sintY1sin(ωt+φ1)φ1=arctgA1/B1ω≈ω≈11jeAYAjAB11N(A)=N(A)ej∠N(A)=212.描述函数法应用条件(1).非线性部分和线性部分可以分离-Gs()rt()xt()yt()ct()NA()N(A)代表非线性元件，G(s)代表线性部分2200A(2).非线性环节正弦输入下的输出为关于t的奇对称函数()()fxfx或非线性环节的特性f(x)为x的奇函数()()ytyt23(3).系统的线性部分是最小相位系统，具有较好的低通滤波性能。削弱高次谐波分量243.描述函数的物理意义11jeAYAjAB11N(A)=N(A)ej∠N(A)=X(t)=Asinωty(t)≈Y1sin(ωt+φ1)幅值变化相位变化()()()()sjGjGsGjGjN(A)——关于输入正弦信号的幅值A的复变增益比例环节254.典型非线性元件的描述函数260201ttdcos)t(y1Aωtπ2πAx(t)200td0sin)t(y1B200td0cos)t(y1A(1)死区特性的描述函数00201ttdsin)t(y1B2ttdsin)t(y4△k0–△x(t)y(t)｛y(t)=0k(x-△)k(x+△)x△x△x-△ψπ-ψωtψy(t)π-ψωψπ-Ψπ22td]tsintsinA[k422ttdsin)tsinA(k4x(t)=Asinωttcostsinttd)t2cos1(ttdsin2121212tcosttdsinψ=△/A,ψ=√1-(△/A)2cossin])(1arcsin2[221A△...)t2sinBt2cosA()tsinBtcosA(A)t(y22110X(t)=Asinωty(t)≈B1sinωtN(A)=AB1+jA1B1A==])(1arcsin2[22AAAk27（2）饱和特性的描述函数])(1[arcsin2)(2XaXaXaKXN28（3）间隙特性的描述函数)1(4])1()21(2)21arcsin(2[)(XbXKbjXbXbXbXbKXN29（4）继电器特性的描述函数))22222111hmhMhMNAjmAAAAAh()()()3040MhNAA())2411hMmNAAA())224411hMhMmNAjAAA()31§7.4用描述函数法分析非线性控制系统分析系统的稳定性、自振荡产生条件及振荡频率。-Gs()rt()xt()yt()ct()NA()N(A)代表非线性元件，G(s)代表线性部分基于频域的方法非线性系统经过谐波线性化处理后已经等效为线性系统，可以利用线性理论中频域稳定性判据分析非线性系统的稳定性。满足描述函数法应用条件！32-Gs()rt()xt()yt()ct()NA()N(A)代表非线性元件，G(s)代表线性部分K变增益线性系统稳定性分析G(s)所有极点位于坐半平面,P=0.闭环特征方程式为：1+KG(s)=0令s=jω1+KG(jω)=0G(jω)=-1/K+j0（a）G(j)不包围（-1/K,j0)，则非线性系统稳定；（b）G(j)包围(-1/K,j0)，则非线性系统不稳定；由奈氏判据知：（c）G(j)穿过(-1/K,j0)，则非线性系统临界稳定；33若K在一定范围内可变，即有K1KK2，则（-1/K,j0)为复平面实轴上的一段直线。（a）G(j)不包围（-1/K,j0)，则非线性系统稳定；（b）G(j)包围(-1/K,j0)，则非线性系统不稳定；由奈氏判据知：0G(j)jN2N1N0-1/K1-1/K234闭环特征方程式为1()()0NAGs令s=jω1()()0NAGj1()()GjNA负倒描述函数绘制：线性部分的频率特性G（j）非线性部分描述函数的负倒特性-1/N(A)应用描述函数分析非线性系统的稳定性当非线性系统采用描述函数近似等效时35（a）G(j)不包围曲线，则非线性系统稳定；)(1AN（b）G(j)包围曲线，则非线性系统不稳定；)(1AN非线性系统稳定性判据36-1/N(A)(-1,j0))(1AN（c）若G(j)与曲线相交，则非线性系统存在周期运动，此时：相当于线性系统中G(j)=-l的情况,将产生等幅的周期性振荡。1()()GjNA若该周期运动是稳定的，则该点对应的周期运动就是自激振荡。370-1/N(A)G(j)jN2N1N0(1)N0产生稳定的周期运动自振荡与扰动无关！380-1/N(A)G(j)jN1N2N0(2)N0产生不稳定的周期运动系统是否稳定与初始条件有关390-1/N(A)G(j)jN10N1N20(3)N3N2N20产生稳定的周期运动N10产生不稳定的周期运动是否产生自振荡与扰动有关！400-1/N(A)G(j)jN20N3N10(4)N2N1N20产生不稳定的周期运动N10产生稳定的周期运动是否产生自振荡与扰动有关！41例题：用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。0)(1,0变化范围为从ANA4)(1,44)(AANAAMAN1-1)2)(1(10sss-110,(0)()NN解：42因此，系统存在频率为，振幅为2.122的自激振荡。2-1/N(A)G(jω)10()(1)(2)Gjjjj(0)90Gj=バ-?()0270Gj???令虚部为0，得穿越频率2xw=与实轴交点为5(,0)3j1520,2.122()433AANA43