高中数学选修2-2-变化率与导数

苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数研究某个变量相对于另一个变量变化在一个范围内的快慢程度．第一课时函数的平均变化率苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数问题1气球膨胀率思考:这一过程中，哪些量在改变？我们都吹过气球.从吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数体会实际问题数学化苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数气球体积:34()3Vrr33()4VrV半径的增量体积的增加量气球平均膨胀率=苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)(/)100.62rrdmL当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.620.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小33()4VrV苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数思考当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率是多少？1V2V2121()()rVrVVV气球平均膨胀率=1231324343VVVV苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto2018161412108642-2-4-6-8-10-25-20-15-10-551015202530平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数请计算00.52:ttv和1时的平均速度h(t)=-4.9t2+6.5t+10苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数将两个具体问题抽象到一般函数的平均变化率。苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数当自变量从变化到时，函数值就从变化到，则x1x2x1y2y平均变化率定义:△x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2xxfxxfxxxfxfxy)()()()(111212若设,则平均变化率为)()(,1212xfxfyxxx1212)()(xxxfxf1y称为函数从x1到x2的平均变化率.)(xf对于函数)(xfy苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数x2-x1=△x它的几何意义是什么呢？xxfxxfxxxfxfxy)()()()(111212若设,则平均变化率为)()(,1212xfxfyxxx观察函数图象)(xfyABOxyx1x2f(x1)f(x2)f(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度.2x0+Δx练习苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数3.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+t4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A253t苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数1.1.2导数苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数瞬时速度2()4.96.510httt高台跳水苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数2()4.96.510httt高台跳水()()hhtthtvtt00(2)(2)(2)limlim(4.913.1)13.1tththvtt苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数vvΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是我们你它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或0000limlimxxfxxfxfxx00x=xfxy导数的概念苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数例1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:.2)()(lim)2(;)()(lim)1(000000hhxfhxfxxfxxfhx);()()(lim)()()(lim)1(0'000000xfxxfxxfxxfxxfxx原式解：).(')](')('[21])()(lim)()(lim[212)]()([)()(lim)2(00000000000000xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh原式苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx)()(lim)2(;)()(lim)1(000000).(1)2();()1(00xftxfm答案：练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和.)()(lim)(axaxfxafafax表示).()()()()(lim)()()]()([lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax解苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数例2:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.0苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数st1ththth)1()1(ttt1015.619.410)1(5.6)1(9.4223.39.4t3.36.1)5.0(/h同理，thh1/运动员在时的瞬时速度为，3.3)1(/hst1sm/3.3st5.0smh/6.1)5.0(/sm/6.1上升下落这说明运动员在附近，正以大约的速率。3.39.4t0limt)(lim0t3.31/hst5.0sm/苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数例3.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在的函数关系s=10t+5t2，求（1）t=20，t=0.1时的s与s/t；（2）求t=20的速度.苏教版高中数学教材选修2-2深圳中学高二数学备课组变化率与导数作直线运动的物体，位移s与时间t的函数关系s=3t-t2，(1).求物体的初速度；(2).求物体在t=2时的瞬时速度；(3).求t=0到t=2时的平均速度.练习