中科大-量子力学习题课1

量子力学习题课1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：CmbbTm03109.2,解：dechdkTh11833由普朗克黑体辐射公式：1185kThcehc得，2ccdd由Cm109.2,03bbTm0dd再由97.4kThcm.由满足的方程得将数据代入求得2hhpmE23hhhpmEmkT1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.kTE231.3氦原子的动能为，求T=1K时氦原子的deBroglie波长。解解01012.631012.63mA0107.0910m7.09A24910J/TB1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求:（1）一维谐振子的能量.（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径.已知外磁场B=10T,玻尔磁子.求动能的量子化间隔△E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。;Spdqnh,0,1,2,Enhn相空间面积能量为22122pEkq（1）方法1：解可以化为2222122/pqEEk的椭圆运动两半轴分别为2,2/aEbEk，2SabEk2nhkEm联立两式，得2nhnh谐振子的能量nhnhT02qqtAqsintAqcoscospqAt2220cosTpdqAtdt(0,1,2,)n222max()22qAE方法2：一维谐振子的运动方程为解为速度为动量为则相积分为220(1cos)2TAtdt222ATnhRvevB2eBvR,3,2,1,nnhpdq20pdpdeBnR,2,1n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。再由量子化条件由此得半径为由得,p以分别表示广义坐标和相应的广义动量，故相积分为2vR22eBRnh212EvJBEB23109kTEJE231052.4JE211038.1电子的动能为动能间隔为热运动能量K4T时，K100T时，（∵平面运动,两个自由度）212eBR2212neBeBBnB•1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？解：ee光子能量：h电子能量：2emc转化过程中能量守恒：2ehmc2max20.024Aeechhmcmc**[()()()()]2iiiiEtEtEtEtirerererem（）（）2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。J∴与t无关对于定态，可令证：(,)()()()iEtrtrftre**()2iJm**[()()()()]2irrrrm1211(1)(2)ikrikreerr12分量只有和rJJ21sinr1er1err02.2由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。在球坐标中解：**11111(1)()2iJmrJ1与同向，表示向外传播的球面波。01111[()()]2ikrikrikrikrieeeermrrrrrr022111111[()()]2iikikrmrrrrrr02krmr3krmr**2222(2)()2iJmrJ与2反向，表示向内(即向原点)传播的球面波。3krmr02krmr01111[()()]2ikrikrikrikrieeeermrrrrrr022111111[()()]2iikikrmrrrrrraxaxxxU，，，000)()()()()(2222xExxUxdxdm2.3一粒子在一维势场求粒子能级和对应波函数。txU与)(无关，是定态问题。各区域的具体形式为解：定态方程2211120()()()()2dxxUxxExmdxⅠ：（1）)()(2022222xExdxdmax（2）Ⅱ：中运动，)(xU(1)、(3)方程中，即粒子不能运动到势阱以外的地方去。223332()()()()2dxaxUxxExmdxⅢ：（3）13()0()0xx因此0)(2)(22222xmEdxxd方程(2)变为222mEk令0)()(22222xkdxxd，得kxBkxAxcossin)(2其解为（4）kannka)0()0(12)()(32aa0Bsin0Aka0sin0Aka2()sinnxAxa根据波函数的标准条件确定系数A，B由连续性条件(1,2,3,)n1)(2dxx由归一化条件1sin022axdxanA得2Aa22()sinnxxaa222mEk),3,2,1(22222nnmaEnaxaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(可见E是量子化的。nE的归一化的定态波函数为对应于aA1axaxaxanAn,0),(sin2221sin()anandxAxadxa2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是证：由归一化，得aA1∴归一化常数21[1cos()]2aanAxadxa2Aa2212()22xxxe2.5求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。解：2211/221/2()()()2!xnnnxeHxn一维谐振子本征函数为处于第一激发态时11,2nHx22]22[2)(3231xexxdxxd0)(1dxxd令xxx10得)(1xxx0，由的表达式可知，时，0)(1x，是几率最小的位置。22222322211224)()(xxexexxx0142)(321212edxxdx1x可见是几率最大的位置。2222)]251[(4)]22(2)62[(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。UxUx在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)(xx以代换，得)()(xUxU利用证明：)()()()(2222xExxUxdxd①)()()()(2222xExxUxdxd②)()()()(2222xExxUxdxd③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx和)()(xx和之间只能相差一个常数C.)()(xcx反演，可得③，④xx由①经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx由③再经⑤)x()x(c)x()x(212c④乘⑤，得1c具有偶宇称，1c)x()x(1c)()(xx具有奇宇称)()(xUxU粒子的定态波函数具有确定的宇称。2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态（）的能级所满足的方程。00,0,UxaUxxa00EU，，，，,0,0,0,)(10xbbxaUaxUxxU)()()()(2222xExxUxdxd2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为定态方程为求束缚态的能级所满足的方程。解：对各区域的具体形式为)0()(21112xExU)0(222022axEU)(233132bxaEUⅡ：Ⅲ：Ⅰ：)(02442xbEⅣ：)(xU0)(1x区域Ⅰ，粒子不可能到达,故化简0)(22202EU0)(23213EU02424E(1)(2)(3)0EU对于束缚态,有2021)(2EUk2123)(2EUk224/2Ek令(5)02212k03233k24440k(4)(6)则各方程的解分别为xkxkxkxkFeEexkDxkCBeAe331142232cossin0)(4E有限，34kxFe由波函数的有限性:AB)0()0(21332()kxkxAeeakDakCeeAaaxkxk2232cossin)()()(33(7)akDkakCkeeAkaaakak2222133sincos)()()(33(8)bkFebkDbkCbb32243cossin)()((9)bkeFkbkDkbkCkbb33222243cossin)()((10)由波函数及其一阶导数的连续，得DbkkCbkkDbkkCbkk)cos()sin()sin()cos(23232222由(7)、(8)，得由(9)、(10)得0)sincos()sincos(22322232DbkbkkkCbkbkkk(12)akDakCakDakCeeeekkakakakak222221cossincoscos1111(11)211111kkeeeeakakakak，则(11)式变为令0)sincos()cossin(2222DakakCakak(13)联立(12)、(13)，要此方程组有非零解，必须222222332222(cossin)(sincos)0(sincos)(cossin)kkkbkbkbkbkkkakakaka222233sin()()cos()((1)0kkkbakbakk即22233tan()(1)()kkkbakk111111112212332tan()(1)()kakakakakakakakakkkeeeekbakeekkee把代入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。tixex2222)(2221xU22pTdxexxUx222222212122211222410122)12(5312aandxexnnaxn3.1一维谐振子处在基态求：(1)势能的平均值(2)动能的平均值(3)动量的几率分布函数。解：(1)m(2)dxxpxpT)(ˆ)(2122*2dxedxdexx22222122221)(21dxexx22)1(22222]2[2322222441414121UET或dxxxpcp)()()(*221212ixpxeedx(3)dxepip