3.1变化率与导数(公开课用)

牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分导数及其应用3.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率34()3Vrr33()4VrV(1)(0)(/)100.62rrdmL气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为(2)(1)(/)210.16rrdmL当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考1212)()(VVVrVr在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv问题二:高台跳水计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.探究式子2121()()fxfxxx平均变化率的定义若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同理Δy=f(x2)-f(x1)ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2–x1=f(x1+Δx)–f(x1)Δx称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()fxyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：2)(xxf)(xf（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化率。解△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均变化率为xxy5201.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（）A．－4B．－8C．－6D．6C课堂练习2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（）A．f(x0+△x)B．f(x0)+△xC．f(x0)·△xD．f(x0+△x)－f(x0)D3.已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx=时的平均变化率。12（1）2(x1+x2)（2）4x0+2Δx5课堂练习在高台跳水中，函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto如何求ｔ＝2时的瞬时速度？2△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ瞬时速度：物体在某一时刻的速度2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度可以得到如下表格3.1.2导数的概念△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………105.69.4)(2ttth当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?.0221.13时的极限趋近于当是称确定值tthth1.13,0,2定值趋近于确平均速度时趋势近于当vtt0limt(2)(2)13.1htht瞬时速度ｔｔ－ｈｔ＋ｔｈ００0limt（在局部）先求平均速度，然后取极限。⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?思考ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００示？处的瞬时变化率怎么表在ｘ＝ｘｘ２、函数ｆ０１、函数的平均变化率怎么表示？ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００0xlim思考导数的定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,0|xxy导数就是瞬时变化率xxfxxflimxylim0x0x００－＋＝xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数注意：Δx可正也可负.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度..,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由(1)求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.f′(1)＝－1f′(1)＝2a＝2，∴a＝1练习.,,62).80(157:,.,20并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义xfxfxy22.'6f和262',fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00'xxyfxx所以.'56f同理可得.运算过程请同学们自己完成具体0026,35.2,3/;6,5/.hhhChhCh在第与第时原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近原油温度大约以的速率下降在附近原油温度大约以的速率上升0'0,.fxx一般地反映了原油温度在时刻附近的变化情况'000'0,,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢3.1.3导数的几何意义P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx21图1234?,,4,3,2,1,,2100什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxPPPnoxyy=f(x)割线切线T（曲线在某一点处）切线的定义当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABC此处切线的定义与以前的定义有何不同？思考xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：探究)(0xf函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy结论xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.22103(1)31|limxxxyx解：2210[(1)1](11)|limxxxyx解：22(1)yx切线方程：20xy即：（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.2036limxxxx0lim3(2)xx6202lim2xxxx例2:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx2230133()()lim3xxxxxxx22201lim[33()].3xxxxxx.,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,,,210变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh.,,.,10000几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当ttxltthtt.,,.0`,2111111附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,.0`,3122222单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,31.12121附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图..,min...,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精