人教版高中数学导数及其应用精品课件

第三章导数及其应用本章概述●课程目标1．知识、技能、过程、方法目标(1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．(3)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(5)结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．(6)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．(7)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．2．情感、态度、价值观目标通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中，逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度．●重点难点本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题．本章难点：导数概念的理解．●学法探究导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实际的思想方法．3．1变化率与导数第三章第三章第1课时变化率问题与导数的概念学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习课程目标解读1．理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．重点难点展示本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．本节难点：导数的概念的理解．学习要点点拨1．本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．2．平均变化率平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化率的步骤是：(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)．(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx，要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.3．瞬时变化率、瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．4．一般地，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt为t时刻的瞬时速度．4．导数的概念对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，即函数在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．课前自主预习1．在高台跳水运动中，运动员在t1≤t≤t2这段时间里的位置为s1≤s≤s2，则他的平均速度为.2．已知函数y＝f(x)，令Δx＝，Δy＝，则当Δx≠0时，比值＝ΔyΔx，为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，即函数f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线的s2－s1t2－t1x2－x1f(x2)－f(x1)fx2－fx1x2－x1斜率．3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝limΔx→0ΔyΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝；(2)求平均变化率ΔyΔx＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝.上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．f(x0＋Δx)－f(x0)fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0ΔyΔx5．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定[答案]D[解析]函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率k1＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx，在x0－Δx到x0之间的平均变化率k2＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx，因为Δx可正可负，∴k1与k2的大小关系不确定．6．y＝x2－2x＋3在2到3之间的平均变化率为________．[答案]3[解析]Δy＝f(3)－f(2)＝(9－6＋3)－(4－4＋3)＝3，Δx＝3－2＝1，∴平均变化率为ΔyΔx＝3.课堂典例讲练思路方法技巧[例1]求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．[分析]直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．命题方向平均变化率[解析]当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为fx0＋ΔxΔx＝x0＋Δx3－x30Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.当x0＝1，Δx＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋122＝194.[点评]解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意义．只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易求出．求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②计算平均变化率：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为()A．－4B．－8C．6D．－6[答案]D[解析]∵f(x)＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2的平均速度为v＝ΔyΔx＝f2－f12－1＝[－2×22＋1]－[－2×12＋1]2－1＝－6，故选D.命题方向瞬时变化率[例2]以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．建模应用引路[解析]∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt，当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.[点评]瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度，应先求出平均速度．(2012～2013学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为()A．3m/sB．2m/sC．1m/sD．0m/s[答案]D[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，∴ΔSΔt＝－4Δt2Δt＝－4Δt，∴v＝limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s.命题方向利用定义求函数在某点处的导数[例3]根据导数定义求函数y＝x2＋1x＋5在x＝2处的导数．探索延拓创新[解析]当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋12＋Δx＋5－22＋12＋5＝4Δx＋(Δx)2＋－Δx22＋Δx，所以ΔyΔx＝4＋Δx－14＋2Δx，所以y′|x＝2＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→04＋Δx－14＋2Δx＝4＋0－14＋2×0＝154.[点评]用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一差、二比、三极限．求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，ΔyΔx＝5Δx＋3Δx2＋Δx3Δx＝5＋3Δx＋(Δx)2，f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[5＋3Δx＋(Δx)2]＝5.名师辨误作答[例4]设f(x)在x0处可导，求limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx的值．[错解]∵Δx→0，∴－Δx→0，又∵f(x)在x0处可导，∴limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝f(x0)．[辨析]错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－Δx.[正解]∵f(x)在x0可导，∴limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－lim－Δx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝－f′(x0)．课堂巩固练习一、选择题1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2[答案]C[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋2Δx2，∴ΔyΔx＝4＋2Δx.2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是()A．0.41B．2C．0.3D．0.2[答案]B[解析]Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2，Δt＝2.1－2＝0.1，∴ΔsΔt＝0.20.1＝2.3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81[答案]C[解析]Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，ΔsΔt＝2Δt2＋18Δt＋54，在t＝3秒时的瞬时速度为：limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2Δt2＋18Δt＋54)＝54.4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0[答案]C[解析]f′(0)＝limΔx→00＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0Δx＝limΔx→0Δx2－3ΔxΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.故选C.二、填空题5．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于______．[答案]a＝2[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，ΔyΔx＝a，∴limΔx→0ΔyΔx＝a，∴f′(1)＝a＝2.6．函数y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．[答案]－2x0＋Δxx0＋Δx2x22[解析]∵Δy＝1x0＋Δx2－1x20，∴y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为ΔyΔx＝1x0＋Δx2－1x20Δx＝－2x0＋Δxx0＋Δx2x20.