08章b 理想流体的有旋和无旋流动

第二大部分理想流体的有旋流动第五节涡线涡管涡束涡通量第六节速度环量斯托克斯定理第七节汤姆逊定理亥姆霍兹旋涡定理第五节涡线涡管涡束涡通量在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度表示的涡量场（或称角速度场）。),,,(tzyx流线流管流束流量涡线涡管涡束涡通量第五节涡线涡管涡束涡通量涡线涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。第五节涡线涡管涡束涡通量涡管涡束在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。第五节涡线涡管涡束涡通量涡通量旋转角速度的值ω与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。dAdJ2有限截面涡管的涡通量AndAJ2第六节速度环量斯托克斯定理涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。sdv第六节速度环量斯托克斯定理代入，得：规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。第六节速度环量斯托克斯定理斯托克斯（G.G.Stokes）定理当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。AnkdAJ2斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。dгdydxyoxvyvdxxvvxxdxxvvyydyyvvxxdyyvvyydyyvdxxvvxxxdyyvdxxvvyyyABCDdxdxxvvvdxxx)]([21dydyyvdxxvvdxxvvyyyyy)]()[(21dxdyyvdxxvvdyxvvxxxxx)]()[(21dydxxvvvyyy)]([21dJdAdxdyyvxvnxy2)(1)微元封闭区域：单连通区域区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通区域。对多连通域：dAAn2内外通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。ABK内B’A’K外可使用斯托克斯定理第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理汤姆孙（W.Thomson）定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。0])2([2FdPdvddtdΓ（8-25）第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；原来没有漩涡和速度环量的，就永远没有漩涡和环量．启动涡.mpg示牌随风摇摆.mov涡线.rm液体和气体的旋转.mov开尔文（1824～1907）WilliamThomsonLordKelvin是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉·汤姆孙。他从小热爱数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的名字提出和命名。第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理旋涡的基本性质：1、亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹第一定理说明涡管不可能在流体中终止。涡管的存在自成封闭的管圈起于边界、终于边界吸烟者吐出的环形烟圈水中的漩涡龙卷风第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。K第七节汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。Ω涡通量（涡管强度）（旋涡强度）如何描述旋涡的强弱速度环量斯托克斯定理亥姆霍兹三定理汤姆孙定理（１）强迫涡旋简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋转，形成强迫涡。显然强迫涡的速度分布与固体旋转一样，。这是一种有旋运动，强迫涡又称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。求解强迫涡的压力场，可用静力学中讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其压力分布关系为：。等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，自由面是旋转抛物面，如图。第八节平面涡流（２）自由涡旋简称自由涡，其流线也是同心圆。但速度变化关系式为：。（C为常数），即与半径成反比。虽然流线是圆，但它是无旋运动，流体微团并未旋转。根据伯努利定理，沿流线，在自由涡中，各条流线H均相等。所以流场中的压力分布关系式为：因而在自由涡中，当我们向中心移动时，速度增加，压力减小。•兰肯涡平面组合涡：中心区是强迫涡；外围区是自由涡。中心区是以涡心为圆心的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为常数。外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。Γ0u0uxyCrr0第八节平面涡流兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样旋转，需有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替。外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的，在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起作用。xCrΓ0u0uyr0•兰肯涡0002urΓ绕的速度环量中心区的流动2yuxuxyz用涡通量计算得到同样的结果xuyuyx,00ru涡量处处为常数000020022urrurΓ速度分布0rrxCrΓ0u0uyr0xCrΓ0u0uyr0流速分布00urru0yuxuxyz00022ΓururΓ200200,rxururxuryururyuyx外围区是无旋流动绕任一的圆周（任意包住的封闭曲线也可）的速度环量都等于Γ00rr0rr外围区的流动xCrΓ0u0uyr0压强分布外围区流动恒定无旋，可用欧拉积分确定压强的径向分布22upp0rr2200upp中心区流动恒定有旋，只能用伯努利积分，但得不到压强的径向分布。须直接由理想流体运动方程出发求解。时速度分布外围区的压强r0220u220u0ppCprprdd12压差力向心力CuCrp22221212022221rrpp20221uuppxCrΓ0u0uyr0中心区的压强2200upp20upC由定速度分布压强分布r0220u220u0ppCp2022221rrppxCrΓ0u0uyr0中心区的压强速度分布压强分布r0220u220u0ppCp抛物线分布，涡心处最低202rppC中心区速度越快，压强越高，速度越慢，压强越低。与无旋区有本质的不同。J假设在理想不可压缩的重力流体中，有一像刚体一样以等角速度绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯定理知，。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径为；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。br在环流区内，速度分布为:0rvrΓvv2brr（8-26）在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为的点和无穷远处的伯努里方程:r在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为的点和无穷远处的伯努里方程:rpvp22式中的即为，为无穷远处的压强。将代入上式得:vvpv222282rΓpvpp（8-27）由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小，流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值，即bbrv2222282bbbrpvpp涡束内部的速度分布为:0rvrvv)(brr（8-28）CvCrCyxp2222222121)(21在与环流区交界处，，代入上式，得积分常数：bbbbrvvpprr,,222bbbvpvpC得涡核区的压强分布为：2222222121bbrrpvvpp（8-29）由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为，涡核区边缘至涡核中心的压强差为。2bcvppbbcbppvpp221由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为。涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式分选机等。221bv第三大部分理想流体的平面流动第九节有势流动速度势和流函数第十、十一节平面势流第十二~十五节圆柱绕流及库－儒公式第九节有势流动速度势和流函数流网对无旋流动：0此式是成为某一函数的全微分的必要且充分的条件。dzvdyvdxvzyx用φ(x,y,z,t)表示该函数第九节有势流动速度势和流函数流网速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数。这一性质对任何方向都成立。),,,(tzyx速度势函数—速度势svs第九节有势流动速度势和流函数流网对于柱面坐标当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在。无旋流动＝有势流动第九节有势流动速度势和流函数流网代入连续方程0zvyvxvzyx02222222zyx拉普拉斯方程2222222zyx拉普拉斯算子第九节有势流动速度势和流函数流网对于圆柱坐标求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。第九节有势流动速度势和流函数流网对于不可压缩流体的平面流动，还可以引出另一个描绘流场的函数。由不可缩流体平面流动的连续方程得此外，平面流动的流线微分方程为第九节有势流动速度势和流函数流网即函数ψ永远满足连续方程。很显然，在流线上ψ＝0或ψ＝常数。在每条流线上函数ψ都有它自己的常数值，所以称函数ψ为流函数。第九节有势流动速度势和流函数流网对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：第九节有势流动速度势和流函数流网流函数的物理意义是，平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。注意：只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。如果是不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在速度势和流函数。第九节有势流动速度势和流函数流网对于oxy平面上的无旋流动不可压缩流体平面无旋流动的流函数满