【学海导航】2012届高三数学第一轮总复习 2.3 函数的值域课件(1)

第二章函数考点搜索●值域的概念和常见函数的值域●函数的最值●求函数的值域的常用方法●求最值的方法的综合应用2.3函数的值域高考猜想高考对值域的考查主要渗透在求变量的取值范围中，常与反函数、方程、不等式、最值问题以及应用问题结合；在基本方法中，配方、换元、不等式、数形结合涉及较多，常表现为解题过程的中间环节.考生应重视通过建立函数求值域解决变量的取值范围的问题.一、基本函数的值域1.一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为①____.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为②__________;当a＜0时，值域为③_____________.3.反比例函数y=kx(x≠0，k≠0)的值域为④_____________.4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的值域为⑤____.{y|y≠0，y∈R}RR)44[2,aac-b]44,(-2aac-b5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1，x＞0)的值域为⑥____.6.正、余弦函数的值域为⑦________，正、余切函数的值域为⑧____.二、求函数值域的基本方法1.配方法——常用于可化为二次函数的问题.2.逆求法——常用于已知定义域求值域(如分式型且分子、分母为一次函数的函数).R+［-1，1］R3.判别式法——可转化为关于一个变量的一元二次方程，利用方程有实数解的必要条件，建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算.4.不等式法——几个变量的和或积的形式.5.导数法——利用导数工具，结合函数的单调性，讨论其值域.盘点指南：①R;②;③;④{y|y≠0，y∈R};⑤R+;⑥R;⑦［-1，1］;⑧R)44[2,aac-b]44(2aac-b,-1.设函数f(x)=则f［］的值为()A.B.-C.D.18解：f(x)=f(2)=4f［］=f()=，故选A.A,1)2(-1)(-122xxxxx(2)1f,1)2(-1)(-122xxxxx1615162798(2)1f4116152.函数的值域为()A.(-∞，1)B.(，1)C.[，1)D.[，+∞)解：故选C.C112)31(xy3131,31)31(111101122xx313.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数y=f(x-10)+π的值域是()A.［-π,10］B.［0,π+10］C.［-π-10,0］D.［-10,π］向右平移10个单位长度解：因为y=f(x)向上平移π个单位长度y=f(x-10)+π，所以函数y=f(x-10)+π的值域是［0,π+10］，故选B.B1.求下列函数的值域：(1)y=;(2)y=;(3)y=.题型1用配方法和换元法求函数值域第一课时562x---x-xx1421-xx解：(1)(配方法)设μ=-x2-6x-5(μ≥0),则原函数可化为y=.又因为μ=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4，所以0≤≤4，故μ∈［0,2］，所以y=的值域为［0,2］.(2)(代数换元法)设t=≥0，则x=1-t2，所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(-∞,5］.562x---x-x1(3)(三角换元法)因为1-x2≥0，所以-1≤x≤1，故可设x=cosα,α∈［0,π］，则y=cosα+sinα=sin(α+).因为α∈［0,π］,所以α+∈［,］,所以sin(α+)∈［-,1］，所以sin(α+)∈［-1,］，所以原函数的值域为［-1,］.4444544222222点评：配方法求函数的值域时，一是注意找到相应的二次式，二是注意自变量的取值范围；运用换元法求函数的值域时，注意新变元的取值范围.设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B=.解：由3-2x-x2＞0，得-3＜x＜1，所以A=(-3，1).因为0＜3-2x-x2=4-(x+1)2≤4，所以f(x)≤2，所以B=(-∞，2］，故A∩B=(-3，1).拓展练习拓展练习2.求下列函数的值域:(1)y=;(2)y=.解：(1)解法1：(逆求法)由y=解出x，得.因为2y+1≠0，所以函数的值域为{y|y≠-，且y∈R}.题型2用逆求法与判别式法求函数值域521x-x432xx521x-x1251yy-x21解法2：(分离常数法)因为，又，所以y≠-.即函数的值域为{y|y≠-，且y∈R}.(2)(判别式法)由，得y·x2-3x+4y=0，当y=0时，x=0，当y≠0时，由Δ≥0得-≤y≤.因为函数的定义域为R，所以函数的值域为［-，］.522721x-y05227x2121432xxy4343432xxy4343点评：逆求法又称为反函数法，如形如的函数，可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式，若能变形为关于自变量x的二次方程形式，利用此方程有解，得到关于y的判别式的关系式，由此得出值域；若定义域不为R，此时还需根据根的范围来确定值域.dcxbaxf(x)函数(x≥0)的值域为_______.解：由，得.因为x≥0，所以，解得-＜y≤3.所以函数的值域为(-，3］.拓展练习拓展练习123x-xy123x-xy123y-yx123y-yx21213.(原创)已知函数.(1)若函数的定义域是［-2，-1］，求函数的值域；(2)若函数的定义域是［，2］，求函数的值域.解：由，得(1)当x∈［-2，-1］时，得题型3利用函数的单调性求函数的值域xxxf2)(221xxxf2)(2.x-xxx-xf232)1(222)(,01)-2()(23xxxf所以f(x)在区间［-2，-1］是减函数，所以当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，所以函数的值域是［-1，3］.(2)由，可得x=1.所以当x∈(，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在区间(，1)上是减函数，同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.由f(1)=3，f()=，f(2)=5知，当定义域为［,2］,函数的值域为［3,5］.01)-2()(23xxxf21212121417点评：利用函数的单调性求函数的值域，其策略是：首先判断函数的单调性或函数的单调区间，然后根据单调性求函数的最值，再得出函数的值域.函数的值域是______.解：函数的定义域为{x|x≤}.因为函数在(-∞，］上为单调递增函数，所以当x=时，ymax=，故原函数的值域为(-∞，］.拓展练习拓展练习x-x-y21x-x-y2121x-x-y2121212121若存在x∈［2，5］，使等式=a+x成立，求a的取值范围________.解：由题设，当x∈［2，5］时，a=-x成立.令=t，即x=t2+1，t∈［1，2］，则a=t-(t2+1)=-(t-)2-.所以当t∈［1，2］时，a∈［-3，-1］.参考题参考题1x-1x-21431.要求熟记各种基本函数的值域.2.求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的作用.3.已知函数的定义域或值域，求参数的范围，是一种逆向思维.解决这类问题要求对定义域、值域的概念及函数单调性有较深刻的理解，可以变换角度后构造新的函数，把求参数的范围转化为求新的函数的值域问题.