【学海导航】2012届高三数学第一轮总复习 2.3 函数的值域课件(2)

第二章函数2.3函数的值域第二课时题型4用不等式法求函数的值域1.求下列函数的值域：(1);(2).)21(12122xx--xxyx-x-ycos2sin1解：(1)因为x，所以x-0，所以，当且仅当x-=，即x=时等号成立.所以y≥，所以原函数的值域为［,+∞).121121)12(12122x-xx-x-xx--xxy,x-x-212121212121221-21)21-(221-2121-xxxx212121x-221212212(2)原函数可化为sinx-ycosx=1-2y，所以sin(x-φ)=1-2y(其中)，所以sin(x-φ)=∈［-1,1］，所以|1-2y|≤，所以3y2-4y≤0，所以0≤y≤，所以原函数的值域为［0,］.21y221sin11cosyy,y2121yy-21y3434点评：对于求形如或(x＞-或x＜-)的值域，常用均值不等式求解，求解时注意“一正，二定，三相等”三个条件须同时成立.dexcbxaxy2cbxaxdexy2eded将上题(1)中条件“x”改为“x”呢?解：因为x，所以x-0，所以当且仅当，即x=时等号成立.拓展练习拓展练习2121,x-x-x-xx-x-xx--xxy21212121121121)12(12122,--x-x-x-x-22121)21(22121212121212121x-x-22-1所以y≤-，所以原函数的值域为(-∞,-］.2122122.设a≠0为常数，函数f(x)=，已知当x∈［m，n］(n＞m＞0)时，f(x)的值域也是［m，n］，求a的取值范围.解：因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以当n＞m＞0时，f(x)在［m，n］上是增函数.因为当x∈［m,n］时,f(x)∈［m,n］,所以从而m,n是关于x的方程=x的两个不等正根.题型5有关值域的逆向思维问题,)()(nnfmmfx-a11x-a11由=x，得，所以解得0＜a＜，故a的取值范围是(0，).点评：解决函数的定义域与值域对应的问题，一般先根据函数的单调性，找到定义域与值域的端点值的对应关系，然后由此得出相应参数的方程(或不等式)，再求解得出参数的取值或取值范围.x-a110112xa-x,anm-aΔ0104122121若函数f(x)=的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值.解：设y=,去分母得yx2-ax+y-b=0，y=0显然在函数值域［-1，4］内；y≠0时，x∈R，所以Δ=a2-4y(y-b)≥0，即4y2-4by-a2≤0的解为-1≤y≤4.所以方程4y2-4by-a2=0的两根为-1，4，由韦达定理知，b=-1+4=3，-=-1×4，所以a=4，b=3或a=-4，b=3.拓展练习12xbax12xbax42a3.若不等式a≥-x-对一切x∈(0，］成立，求a的最小值.解：构造函数f(x)=-x-，x∈(0，］，则f′(x)=-1+，当x∈(0，］时，y′＞0，所以f(x)=-x-在(0，］上单调递增.因为x∈(0，］,所以［f(x)］max=f()=-，又因为a≥f(x)a≥［f(x)］max=-，故a的最小值为-.题型6恒成立与存在性问题x1x1x121x212121212121252525点评：不等式的恒成立问题，可以构造函数，利用函数的最值问题来解决.求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的，此类题综合了函数、方程、不等式等知识，注意三者之间的相互转化与联系.(原创)关于x的不等式≤a在区间［1，2］上有解，求a的取值范围.解：构造函数f(x)=，x∈［1，2］，则f′(x)=，当x∈［1，2］时，f′(x)＜0，所以f(x)在区间［1，2］上是减函数.所以x∈［1,2］时,［f(x)］min=f(2)=-，因为≤a在区间［1，2］上有解，则a≥［f(x)］min=-.故a的取值范围是［-，+∞).拓展练习拓展练习x-x-1x-x-122)1)(1(11xx-xx-x-x-1252525如图，在边长为1的正三角形ABC中，P、Q、R分别为边BC、CA、AB上的点，且CQ=2BP，AR=3BP，求△PQR的面积S的取值范围.参考题参考题题型实际应用问题解：设BP=x，则S=S△ABC-S△BPR-S△PCQ-S△ARQ又0≤3x≤1，即0≤x≤，所以函数的定义域为［0，］，所以当x=时，Smin=;当x=0时，Smax=.所以S的取值范围是［，］..x-x-xx-x-xxx-x-。]112)113(11[43)1611(4360sin)]21(3)1(2)31([214322313111322343223431.求函数值域的常用方法:配方法、判别式法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、图象法、反函数法、几何法等.2.已知函数的定义域或值域，求参数的值或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于参数的方程(组)或不等式(组).3.对于求含参数的方程有实根的条件，若能分离参数，则可转化为函数的值域求解.点石成金点石成金4.恒成立问题：f(x)≥af(x)］min≥a;f(x)≤af(x)］max≤a.5.存在性问题：存在x，使f(x)≥af(x)］max≥a；存在x，使f(x)≤af(x)］min≤a.