【学海导航】2012届高三数学第一轮总复习 2.7 二次函数课件(1)

第二章函数考点搜索●二次函数的基本知识●实系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根的符号与二次方程系数之间的关系●已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围●一元二次方程根的分布●二次函数在闭区间上的最值2.7二次函数高考猜想高考中很多问题最后都要化归为二次函数问题来解决，因而必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决实际问题；高考中若出现二次函数与方程、不等式的综合题，一般难度较大，平时应注意这方面能力的培养.一、二次函数的图象特征1.a＞0时，开口①______，Δ≥0时与x轴的②_____________为方程ax2+bx+c=0的两实根；Δ＜0时，抛物线与x轴③________，④___________恒成立.2.a＜0时，开口⑤_____，Δ≥0时与x轴⑥____________为方程ax2+bx+c=0的两实根；Δ＜0时，抛物线与x轴⑦______，⑧_____________恒成立.向上交点的横坐标不相交ax2+bx+c＞0向下交点的横坐标不相交ax2+bx+c0二、二次函数的解析式1.一般式：f(x)=⑨_____________(a≠0).2.顶点式：f(x)=⑩_____________(a≠0).3.零点式：f(x)=11______________(a≠0，x1，x2为两实根).三、二次函数在闭区间上的最大值和最小值设f(x)=a(x-k)2+h(a＞0)，在区间［m，n］上的最值问题有：ax2+bx+ca(x-h)2+ka(x-x1)(x-x2)1.若k∈［m，n］，则ymin=f(k)=12___，ymax=max{f(m)，f(n)}.2.若k［m，n］，则当k＜m时，ymin=13_____，ymax=14_____;当k＞n时，ymin=15_____，ymax=16_____.(当a＜0)时，可仿此讨论).hf(m)f(n)f(n)f(m)盘点指南：①向上；②交点的横坐标;③不相交；④ax2+bx+c＞0;⑤向下;⑥交点的横坐标;⑦不相交；⑧ax2+bx+c＜0；⑨ax2+bx+c;⑩a(x-h)2+k;11a(x-x1)(x-x2);12h;13f(m);14f(n);15f(n);16f(m)2.设a为常数，f(x)=x2-4x+3,若函数f(x+a)为偶函数，则a=___；f［f(a)］=___.解：由函数f(x+a)为偶函数，知f(x)关于直线x=a对称，而f(x)=x2-4x+3的对称轴是直线x=2,所以a=2，从而f［f(a)］=f［f(2)］=f(-1)=8.283.已知函数f(x)=若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)解：由题知f(x)在R上是增函数，故得2-a2a，解得-2a1，故选C.,)(xx-x)x(xx040422C1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为________.解法1：利用二次函数的一般式.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，题型1求二次函数的解析式第一课时由题意得解得所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.解法2：利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n，因为f(2)=f(-1)，所以抛物线的对称轴为x=，所以m=.又根据题意函数有最大值8，所以n=8，所以y=f(x)=.又因为f(2)=-1，242-1--1,4-84abcabcacba-44.7abc2+(-1)1=221221(-)82ax所以解得a=-4.所以解法3：利用二次函数的零点式.由已知，f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值［f(x)］max=8,即解得a=-4或a=0(舍去)，所以所求函数解析式为21(2-)8-1,2a221()-4(-)8-447.2fxxxx24(-2-1)-8,4aaaa221()-4(-)8-447.2fxxxx点评：用待定系数法求二次函数的解析式，关键是根据题中条件得到待求系数的方程组，而正确选用二次函数的形式，可简化求解过程.已知二次函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)≤f(1)=3成立，且f(0)=2，则f(x)的解析式是()A.-x2-2x+2B.-x2+2x+2C.x2-2x+2D.x2+2x+2解：由已知，当x=1时，f(x)取最大值3，从而可设f(x)=a(x-1)2+3(a＜0).因为f(0)=2，所以a+3=2，即a=-1.所以f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2，故选B.拓展练习拓展练习题型2二次函数在闭区间上的最值问题点评：拓展练习拓展练习3.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.解：(1)因为f(x)+2x＞0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0.因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.②题型3三个二次的关系因为方程②有两个相等的实数根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.由于a＜0，舍去a=1.将a=-代入①，得f(x)的解析式为f(x)=.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=，及a＜0，可得f(x)的最大值为15152163---555xx221241(-)-aaaaxaa2-41.aaa由可得a＜或＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，)∪(，0).点评：二次函数是联系二次方程、二次不等式的枢纽，解题中常以二次方程为基础，以二次函数图象为工具，解决有关方程、不等式、函数等综合问题.2-410,0aaaa-2-3-2+3-2-3-2+3已知函数满足f(c2)=.(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)＞2c.解：(1)因为0＜c＜1，所以c2＜c.由f(c2)=，即c3+1=，故c=.(2)由(1)得f(x)=由f(x)＞2c得，拓展练习拓展练习21(0)(),6-73(1)cxxcfxxxcx9898982111(0).226-73(121)xxxxx12当0＜x＜时，得x+1＞1，解得0＜x＜；当≤x＜1时，得6x2-7x+3＞1，解得＜x＜1.综上可得：f(x)＞2c的解集为(0，)∪(，1).121212122323121.求二次函数在某区间内的最大值和最小值，是二次函数中的一个重点内容.其基本思路是先对二次函数的解析式配方化为顶点式，再考察其对称轴与给定区间的相对位置关系，然后结合图象写出最值.2.一般地，二次函数的最值在区间端点或顶点处产生，若区间变而对称轴不变，或区间不变而对称轴变，或区间和对称轴都变，则需分类讨论求解.对称轴在区间左侧、右侧、区间内，或对称轴在区间中心线左侧、右侧是分类的依据，具体选用应由抛物线的开口方向而定.3.数形结合是解决二次函数问题的重要思想方法，解题时，要充分发掘问题的几何意义，通过图象反映问题的本质，转化问题的条件或结论.