1第九章直线、平面、简单几何体29.2空间直线考点搜索●空间两直线的位置关系●三线平行公理和等角定理●异面直线的概念、夹角和距离高考高考猜想1.判断两直线的位置关系,两直线平行的判定与转化.2.异面直线所成的角和距离的分析与计算.31.空间两条不同直线的位置关系有相交、平行、异面三种,其中两相交直线是指①_______________公共点的两直线;两平行直线是指在②____________;且③______公共点的两直线;两异面直线是指④___________________的两直线.2.在空间中,如果两直线a、b都平行于同一条直线,则直线a、b的位置关系是⑤____.有且只有一个同一平面内没有不同在任何一个平面内平行43.在空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边⑥__________,并且这两个角的⑦__________,那么这两个角相等.4.既不平行又不相交的两直线是⑧__________;连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内⑨____________的直线是异面直线.分别平行方向相同异面直线不经过此点55.过空间任意一点分别作两异面直线a、b的平行线,则这两条相交直线所成的⑩__________叫做异面直线a和b所成的角;两条异面直线所成的角的取值范围是11_____;如果两条异面直线所成的角为90°,则称这两条异面直线12___________.6.和两条异面直线都13__________的直线,称为异面直线的公垂线;锐角或直角互相垂直垂直相交(0,]26两条异面直线的______夹在这两条异面直线之间的长度,叫做这两条异面直线的______.盘点指南:①有且只有一个;②同一平面内;③没有;④不同在任何一个平面内;⑤平行;⑥分别平行;⑦方向相同;⑧异面直线;⑨不经过此点;⑩锐角或直角;(0,];互相垂直;垂直相交;公垂线;距离14152Π1112131415公垂线距离7“两直线没有公共点”是“两直线平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:两直线没有公共点,可知两直线平行或异面;而由两直线平行,可知两直线没有公共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行”的必要不充分条件.故选B.B8如右图,正四面体S-ABC中,D为SC的中点,则BD与SA所成角的余弦值是()A.B.C.D.33C3263629解:取AC的中点E,连结DE、BE,则DE∥SA,所以∠BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a,则BD=BE=a,DE=a,2321632cos222DEBDBEDEBDBDE10六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是____.解:连结FE1、FD,由正六棱柱相关性质可得FE1∥BC1,所以∠FE1D即为E1D与BC1所成的角.11在△EFD中,EF=ED=1,∠FED=120°,所以在△EFE1和△EE1D中,易得所以△E1FD是等边三角形,所以∠FE1D=60°.3120cos222.EDEFEDEFFD312211)(DEFE121.在空间四边形ABCD中,连结两条对角线AC、BD,若M、N分别是△ABC和△ACD的重心,求证:MN∥BD.证明:连结AM并延长交BC于E,连结AN并延长交CD于F.因为M、N分别是△ABC、△ACD的重心,题型1两直线的平行问题第一课时13所以E、F分别是BC、CD的中点.结EF,则EF∥BD.因为=2,=2,所以MN∥EF.故MN∥BD.点评:证明空间两直线平行,可转化为在同一平面内两直线的平行问题,然后利用平行的判定证得平行.MEAMNFAN14如图,在空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点,且.(1)证明:EH∥FG;(2)若BD=6,四边形EFGH的面积为28,求平行线EH与FG的距离.拓展练习拓展练习32CDCGCBCF15解:(1)证明:因为E、H分别是AB、AD的中点,所以因为,所以FG∥BD,且,所以EH∥FG.BD//EH2132CDCGCBCF32BDFG16(2)因为BD=6,所以EH=3,BD=4.又四边形EFGH是梯形,设EH与FG的距离为h,由已知得(EH+FG)·h=28,所以h=28,所以h=8.故平行线EH与FG的距离为8.32FG2127172.已知α∩β=l,aα,bβ.若a∩l=A,且b∥l,求证:a与b是异面直线.证明:假设a,b不是异面直线,则a∥b或a与b相交.若a∥b,因为b∥l,所以a∥l,这与a∩l=A矛盾,所以a\b.若a与b相交,设a∩b=B.因为aα,bβ,题型2异面直线问题//18所以B∈α,B∈β,即B为α、β的一个公共点.因为α∩β=l,所以B∈l,从而b∩l=B,这与b∥l矛盾.所以a与b不相交.故a与b是异面直线.点评:空间直线的位置关系有三种:平行、相交、异面.本题证两直线异面用的是反证法.利用反证法证明时,首先是反设(即否定结论),并把反设作为一个推理条件,然后逐步推理,直到得出矛盾.19如图,在空间四边形ABCD中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F分别是AB、CD的中点.(1)求证:EF是AB和CD的公垂线;(2)求AB和CD间的距离.拓展练习拓展练习20解:(1)证明:连结CE、DE.所以AB⊥EF,同理CD⊥EF,所以EF是AB和CD的公垂线.(2)△ECD中,所以CDE平面ABDEABCEABBEAEBDADBCACEDbaEC422222baEF21参考题参考题斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a,∠B1BA=∠B1BC=∠ABC,求异面直线A1B1和BC1的距离.解:因为△ABC为正三角形,所以∠ABC=60°,从而∠B1BA=∠B1BC=60°.连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a,22所以△ABB1和△CBB1都是正三角形,所以AB1=CB1=a,从而四面体ABCB1为正四面体,所以AB⊥B1C.因为A1B1∥AB,所以B1C⊥A1B1.又四边形BCC1B1为菱形,所以BC1⊥B1C,21所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.设B1C交BC1于D,则B1D=B1C=.故异面直线A1B1和BC1的距离为.2a2a231.利用三线平行公理判断或证明两直线平行,关键是找到第三条直线,使得这两条直线都与第三条直线平行.2.判定两直线是否为异面直线,一般根据图形的直观性,结合异面直线的定义及异面直线的判定定理就能确定.证明两直线为异面直线,通常用反证法.243.由三线平行公理可知,在空间中,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.4.空间两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直线的两直线可能平行、相交或异面;过一点有无数条直线与已知直线垂直.255.对于异面直线的距离,考试要求较低,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.因此,求异面直线的距离应立足于先找出公垂线,再计算公垂线段长的基础上求解.用向量法求异面直线的距离,即求分别在两异面直线上两点A、B所对应的向量,在两异面直线的公垂线方向上的射影长度.其计算公式为,其中n为异面直线的公垂线的一个方向向量.ABndnAB