直角三角形的边角关系

第一章直角三角形的边角关系九年级下册梯子是我们日常生活中常见的物体你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？5m2.5mCBA2mE5mDF在图中的梯子AB和梯子EF哪个更陡，你是怎样判断的？你有几种判断方法？能与大家交流一下吗？G1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。观察下面两组图,请你根据数据,判断每组图中的两个梯子哪一个更陡些?你是用什么方法判断的?ABCEFD5m5m2m1m(1)ABCDFE4m3m2m1.2m(2)1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。想一想:(1)梯子AD如图放置,梯子与地面形成的角是哪一个?如果梯子的位置不变,那么这个角变不变?(2)BC:AC与DE:AE的值有什么关系?如果改变点B在AD上的位置,这个比值变不变?(3)如果改变这个角的大小,这个比值变不变?你认为这个比值能用来描述梯子的倾斜程度吗?AEDCB在墙角处放有一架较长的梯子，你有什么方法得到梯子的倾斜程度？ABCEFACEF用或表示BCBFABC∠A的对边∠A的邻边在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切。的邻边的对边AAAtan在前面的学习过程中，你认为梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？ADCtanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中:乙梯中:.1255135tan22A.4386tanD生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.∵tanD＞tanA,∴乙梯更陡.5m13mCBA6m8mDFE甲乙已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=900，tanA=tanD，则∠A与∠D有什么关系？你能得出什么结论？两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等。两个锐角相等,则两锐角的正切值相等。已知：如上图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=900，∠A=∠D，则tanA和tanD有什么关系？你能得出什么结论？已知∠A、∠B为锐角（1）若∠A=∠B，则tanAtanB；（2）若tanA=tanB，则∠A∠B。==Rt△ABC∽Rt△DEFDFEFACBCDFEFACBCRt△ABC∽Rt△DEF判断对错:1、如图，tanA=ACBC错如图(2)tanA=（）(3)tanA=（）(4)tanA=0.7m（）(5)tanA=0.7或tanA=-0.7（）(6)tanB=（）0.7tanABCACABBC7103、如图,∠C=90°，CD⊥AB┌ACBD()()()tanB()()()子母图tanB的大小只与∠B的大小有关，而与直角三角形的边长无关。CDBDACBCADCD2、在右图中求tanA的值5、已知∠A、∠B为锐角（1）若∠A=∠B，则tanAtanB（2）若tanA=tanB，则∠A∠B。4、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（）A、扩大100倍B、缩小100倍C、不变D、不能确定定义中应该注意的几个问题:1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）。2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号。但tan∠BAC，tan∠1中的“∠”不能省略。3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位。4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关。5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等。ABC∠A的对边∠A的邻边的邻边的对边AAAtan例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB(2)BC=3，tanA=，求AC和AB。125例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，tanA=，求AC和BC。43D7、在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB。ACB1313105126、在右图中,若BD=6,CD=12。求tanA的值。21126tantanCDBDBCDA8.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？┌ACBD9、在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)AC=25，AB=27，求tanA和tanB(2)BC=3，tanA=0.6，求AC和AB。(3)AC=4，tanA=0.8，求BC。10、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求tanB。试一试：在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，tan∠BCD=0.5，AB=4，求AC。2E.5310060tani100m60m┌α有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,求山坡的坡度i。坡度等于坡角的正切。ABC∠A的对边∠A的邻边的邻边的对边AAAtan1、在红顶工程中，要求许多楼顶是人字型并挂红瓦装饰，现知道楼顶的坡度超过1.3时瓦片挂不住。下图是某一建筑楼顶的初步设计方案。你根据图中数据说明这一建筑的楼顶是否能挂住红瓦？10m12m12cm10cmACBD3、在“小车下滑的时间”的实验过程中，如图所示，小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果是4秒，木板的坡度为0.75。请你根据图中数据计算小车的平均速度是多少？36cmABC∠A的对边∠A的邻边在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切。的邻边的对边AAAtan的对边的邻边AAAcot这个比叫做∠A的余切。斜边斜边的对边AAsin这个比叫做∠A的正弦。斜边的邻边AAcos这个比叫做∠A的余弦。锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的三角函数。ABCacb锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数。定义:正切tanA=∠A的对边∠A的邻边正弦sinA=余弦cosA=余切cotA=∠A的对边斜边∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边求锐角三角函数值求比值当Rt△ABC中的锐角A确定时，∠A的对边和邻边的比是确定的。那么,其他各边之比也确定吗？ca=cb=ba=ab=直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2bABCa┌c直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数正切tanA=∠A的对边∠A的邻边正弦sinA=余弦cosA=余切cotA=∠A的对边斜边∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边ca=cb=ba=ab=在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为c、a、b，其中除直角c外，其余的5个元素之间有以下关系：3、如图所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，AD是∠BAC的平分线。已知AB=，那么AD=.4341、在Rt△ABC中，∠B=900，AC=200，sinA=0.6。求BC的长.求:AB，sinB。.1312cosA2、在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.长积042,在△ABC中，∠C=90，sinA=,BC=20,5求△ABC的周和面。1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=,则tan=。2A32．等腰三角形底角为30°，底边长为，则腰长为()A.4B.32C.2D.23C33323.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上，∠CBD=30°，则AD/DC的值为()A.B.C.D.不能确定22313C4.在△ABC中，∠C=90°，若BC=4cm，sinＡ=，则AC的长是()52A.6cmB.cm212C.cm53D.cm132B2155.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，cosA=53BD=8，则AC=()A.15B.16C.18D.D一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？ABCD300m200mFE梯子的倾斜程度与sinA和cosA有什么关系？sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长ABCcosA=。sinC=。cosC=。tanA=。cotA=.tanC=。cotC=.你能得出什么结论？课本第9页如图，sinA=cosA=tanA=cotA=ABCabsinB=cosB=tanB=cotB=cabaabcbbacacbacb观察以上结果，你发现了什么?1、sin2A+cos2A=同角三角函数之间的关系2、cotA=3、tanA=Atan1AAcossin1{tanA=或tanA•cotA=}Acot11互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系sinA=cosB,cosA=sinBtanA=cotB，cotA=tanB条件：∠A+∠B=9003、cotA=AAsincos完成下表角α三角函数sinαcosαtanα30º45º60º2123212222333231观察一副三角板,其中有几个锐角,他们分别等于多少度?1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？1、正切的定义。2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。（∠A和tanA之间的关系）。3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识；方程思想。4、“一般特殊一般”的数学思想方法。小结