DFT分析信号频谱

利用DFT分析信号频谱一、问题的提出二、四种信号频谱之间的关系三、利用DFT分析连续非周期信号频谱四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象五、DFT参数选取六、工程实际应用1.连续时间非周期信号)(txj()(j)()txtXxtedttx(t)0图1连续非周期信号及其频谱一、问题的提出ΩX(jΩ)02.连续时间周期信号)(txT0j01()()()ntTTTxtXnxtedtTt0)(tTxT-T图2连续周期信号及其频谱ΩX(nΩ0)03.离散时间非周期信号][kxjj[]()[]wkwkxkXexkekx[k]0图3离散非周期信号及其频谱wX(ejw)0......p2ppp24.离散时间周期信号][~kx102j][~][~][~NkmkNekxmXkxp0][~kxkN-N图4离散周期信号及其频谱m][~mX0N-N......问题提出：如何利用数字方法分析信号的频谱？j()(j)()txtXxtedt0j01()()()ntTTTxtXnxtedtTjj[]()[]wkwkxkXexke102j][~][~][~NkmkNekxmXkxp有限长序列的傅立叶变换DFT.][kxN10π2j][][][NkmkNNNNekxmXkx0]x[kkN-1Nm][mX0N-1NDFT可以直接计算周期序列的DFS可否利用DFT分析以上四种信号的频谱？基本原理利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信号频谱之间的关系。时域的离散化时域的周期化频域周期化频域离散化tx(t)0t0)(~txkx[k]00][~kxk二、四种信号的时域与频域对应关系m][~mX0N-N......FTFSDTFTDFSΩX(jΩ)0ΩX(nw0)0wX(ejw)0......p2ppp2离散傅里叶变换及MATLAB实现用DFT对模拟信号进行谱分析scp2,FfTNTj(e)Xw设模拟信号xa(t)的持续时间为Tp,信号最高频率为fc,其傅里叶变换为Xa(jΩ).对其以采样间隔T（采样频率为Fs=1/T）采样N点得到x(n),则有.设x(n)的离散时间傅里叶变换为，则有ja12π(e)(j)kkXXTTwwj(e)Xw[0,2π)x(n)的N点DFTX(k)是在上的N点等间隔采样，即j2πa12π()(e)(j)(01)kNXkXXkkNTNTwwsp11FFNTTN令F即为频率采样间隔，将其定义为频谱分辨率。离散傅里叶变换及MATLAB实现显然，频率采样间隔F越小，则频谱分辨率越高，谱分析越接近模拟信号的频谱。从式（3-84）可以总结出提高频谱分辨率的方法如下：★若采样点数N一定，则可以通过减小采样频率Fs，使F减小，但Fs仍需满足奈奎斯特采样定理。★若采样保持采样频率Fs一定，则可以通过增加N使F减小,这种方法包括增加记录时间Tp,或增加DFT点数N.12319kHz,20kHz,21kHzfff80kHzsF【例3】设某模拟信号由3种频率成分组成，对其进行频谱分析，要求分辨出信号所包含的3种频率成分，抽样频率。a123()2cos(2π)cos(2π)3cos(2π)xtftftft即离散傅里叶变换及MATLAB实现05101520253035-10010nx(n)时域波形050010001500200025000204060k|X(k)|幅频特性由于信号点数取得过少，无法表征信号的全部信息，因此分辨率较差。将信号点数取为80点，分别作80、512和2048点DFT。离散傅里叶变换及MATLAB实现01020304050607080-10010nx(n)时域波形01020304050607080050100150k|X(k)|80点DFT幅频特性0100200300400500600050100150k|X(k)|512点DFT幅频特性05001000150020002500050100150k|X(k)|2048点DFT幅频特性此时，时域取了信号的一个周期，可以表征信号的全部信息。DFT点数取为80的时候，只分辨出了两种频率成分，增加DFT点数到512和2048时，第3种频率成分隐约能分辨出来。再修改程序，将时域信号取为512点，分别作512、1024和2048点DFT。离散傅里叶变换及MATLAB实现0100200300400500600-10010nx(n)时域波形01002003004005006000200400600k|X(k)|512点DFT幅频特性02004006008001000120005001000k|X(k)|1024点DFT幅频特性0500100015002000250005001000k|X(k)|2048点DFT幅频特性继续修改程序，将时域信号取为2048点，作2048点DFT。05001000150020002500-10010nx(n)时域波形0500100015002000250005001000k|X(k)|幅频特性)(tx抽样离散化][kx周期化][~kx()XjmmAw()jwXep2p2TAmN][mXTAmN][mXTAN][mXTA~三、利用DFT分析连续非周期信号的频谱DFT实现假设连续信号持续时间有限，频带有限讨论：（1）无限长，其频带有限)(tx][mX][kx加窗m][mX01N)(tx抽样][kxNDFTmΩΩ)j(ΩX0AmΩp2p2w)(jweXN0p2p2w)(jweX0TA（2）有限长，其频带无限)(txwm][mX01N)(tx抽样][kx][mXDFTΩ)j(ΩX0Ap2p2w)(jweX0（3）无限长，其频带无限)(tx][kxN加窗出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏m][mX01N][kx)(tx抽样][mXDFTp2p2w)(jweX0p2p2w)(jweXN0Ω)j(ΩX0A四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象（1）混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波)(tx抗混滤波抽样间隔Tsam111()(j())(j(2))jwnnXeXnXwnTTTp)(0tx抽样][0kx][mXDFTΩ)j(ΩX0AΩ)j(ΩX0A0mΩmΩ0Ap2p2w)(j0weX（2）泄漏现象：选择合适的窗函数jjj()()()其中：凯塞窗布拉克曼窗哈明窗汉宁窗矩形窗][kwN][][][][kwkxkxkxNN加窗][mXDFT矩形窗其它001][Nkkw窗函数一：时域波形幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51010203040矩形窗：其它001][Nkkw1jj2sin(/2)()DTFT{[]}sin(/2)NwwNNNwWeRkew4/wNp2/wNpw)(jweWNNNp2Np4ppNp2主瓣旁瓣旁瓣0矩形窗：其它001][Nkkw主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由直流分量组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多高频分量。ppppp32)2/3(1)2/3sin()2/3sin()()(0j/3jNNNNeWeWNdB46.13)()(log200/310jNjeWeWAp汉宁窗（hanning)：窗函数二：其他00)/π2cos(5.05.0][NkNkkw时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520幅度频谱窗函数三：哈明窗（hamming)其他00)/π2cos(46.054.0][NkNkkw时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520幅度频谱窗函数四：布拉克曼窗（Blackman）其他00)/π4cos(08.0)/π2cos(5.042.0][NkNkNkkw时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51051015幅度频谱窗函数五：凯塞窗（Kaiser）NkINkIkw0,)()/21(1(][020时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520幅度频谱窗函数类型主瓣宽度旁瓣峰值衰耗(dB)矩形4p/N-13Hann8p/N-31Hamming8p/N-41Blackman12p/N-57Kaiser（）10p/N-57常用窗函数特性86.5为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，现分析一无穷长的余弦信号的频谱。0()cos(),xttt00(j)[()()]Xp00[]cos()cos(),xkkTwkkj2020()[()()]wXe][kx)(tx][kxN加窗抽样][mXDFT][][][kwkxkxNNj00()0.5[()()]wNNNXe][kx)(tx][kxN加窗抽样][mXDFTΩ)j(ΩX00Ω0Ω(p)(p)Ω)j(32ΩX00Ω0Ω频率泄漏)j(64ΩXΩ00Ω0Ω频率泄漏)2cos()2cos()(21tftftxpp已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。Hz1001fHz1202f600samf)/2cos()/2cos()(][sam2sam1fkffkftxkxkTtpp12fffsam222fffTNppp30/samffN2wNp矩形窗-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-10001002003000246810幅度谱频率(Hz)信号样点数N=30信号样点数N=20加矩形窗利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30;%数据的长度L=512;%DFT的点数f1=100;f2=120;fs=600;%抽样频率T=1/fs;%抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);F=fftshift(fft(f,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);hd=plot(w,abs(F));ylabel('幅度谱'))2cos(15.0)2cos()(21tftftxpp已知一连续信号为若以抽样频率Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。Hz1001fHz1502f600samf-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=50利用Hamming窗计算有限长余弦信号频谱N=50;%数据的长度L=512;%DFT的点数f1=100;f2=150;fs=600;%抽样频率T=1/fs;%抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N))';f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F));ylabel('幅