第4章 相似原理与量纲分析

第4章相似原理和量纲分析（SimilitudeandDimensionalAnalysis)4.1相似原理4.1.1流动相似工程实物（prototype）的流动规律通常借助于模型由实验解决。模型（model）指与原型有同样的流动规律、各运动参数存在固定比例关系的缩小物。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验的理论基础。流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似。（1）几何相似几何相似—模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角相等，即1rmp2m2p1m1plllllllmp式中lr称为长度比尺，λ则称为模型比尺。面积比尺2r2m2pmprlllAAA体积比尺3r3m3pmprlllVVV只要模型与原型各相应长度保持lr不变，两流动几何相似。（2）运动相似运动相似—模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例，即mpruuu式中ur称为速度比尺。由于各相应点速度成比例，相应断面的平均速度必然成比例，即另外rrmpmpmmppmpr////tlttlltltlvvv式中tr称为时间比尺。rmpmprvvvuuu速度相似也就意味着加速度相似，即2rrrrmpmpmmppmpr////tltttttaaavvvvv（3）动力相似用，力的方向相同，大小成比例。ImIpPmPpGmGpVmVpFFFFFFFF或动力相似—模型与原型流场中相应点处质点受同名力作根据达朗伯原理，惯性力与其他诸力相平衡，形式上构成力多边形。因此，动力相似可以表现为模型与原型的力多边形相似。影响流体流动的主要作用力有黏滞力、重力、压力以及惯性力等，并分别表示为FV、FG、FP和FI，于是IrPrGrVrFFFF根据两个力的特征量表示ImIpVmVpFFFFVmImVpIpFFFF或RellllFFvvvv22VI无量纲数Rellvv称为雷诺数（ReynoldsNumber）。4.1.2相似准则几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则（similaritycriterion）。由于不同流动条件下有不同力的作用，因此也就存在着不同力的相似准数，以及不同的相似准则。（1）雷诺准则考虑原型与模型之间黏滞力与惯性力的关系（2）弗汝德准则考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系ImIpGmGpFFFFGmImGpIpFFFF或FrglgllFF2322GIvvglFr2v于是原型与模型黏滞力与惯性力之比可表示为这表明，原型与模型的雷诺数相等，两流动的黏滞力相似。mpReRe根据两个力的特征量表示无量纲数称为弗汝德数（FroudeNumber）。于是原型与模型重力与惯性力之比可表示为（3）欧拉准则考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系根据两个力的特征量表示ImIpPmPpFFFFImPmIpPpFFFF或mpFrFr这表明，原型与模型的弗汝德数相等，两流动的重力相似。无量纲数称为欧拉数（EulerNumber）。2222IPvvplplFF22vvppEu于是原型与模型压力与惯性力之比可表示为mpEuEu这表明，原型与模型的欧拉数相等，两流动的压力相似。两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下决定流动的作用力只有黏滞力、重力和压力，即该封闭力多边形由这3个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。由于压力通常是待求量，这样只要黏滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分与必要条件。4.2模型实验4.2.1模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。事实上，很难达到独立准则同时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。因此，主要作用力则是黏滞力或重力。若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。例如无压流。4.2.2模型设计1.根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长度比尺lr或模型比尺λ，由选定的比尺确定模型区的几何边界；2.根据流动受力情况分析，选择模型律；3.运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则mmmpppllvv若模型与原型在相同温度下使用相同介质，则νp=νm，mmppllvv或1rrlv于是mm2mpp2plgvlgv按弗汝德模型律设计，模型与原型间只满足弗劳德准rrlQ若模型与原型同在重力场，则gp=gl，于是m2mp2plvlv或rrlv流量比尺为2rrmmppmprlAAQQQvvv若按雷诺模型律设计，则或1rpmlQQ若按弗汝德模型律设计，则2.5rrlQ或5.2rpmlQQ【例1】桥孔过流模型实验。已知桥墩长lp=24m，桥墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，平均流速vp=2.3m，两桥墩中心距Bp=90m。若长度比尺lr=50，要求设计模型。【解】1.由给定比尺lr=50，算得模型尺寸m48.05024rpmlll桥墩长桥墩宽m086.0503.4rpmlbb墩台距m8.15090rpmlBB水深m164.0502.8rpmhh2.无压流，按弗劳德模型律设计s/m16162.83.4903.23ppppphbBQv模型流速s/m0914.050161635.25.2rpmlQQ模型流量原型流量s/m325.0503.2rpmlvv4.3量纲分析4.3.1量纲（dimension）量纲—物理量的单位类别，又称因次。例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理量则具有长度量纲。通常用L表示长度量纲，M表示质量量纲，T表示时间量纲，用dimq表示某物理量q的量纲。无量纲量—不具有量纲的量，又称为数，如角度等。基本量纲—无任何联系的、相互独立的量纲。基本量纲的选取与国际单位制相一致。力学中，选取长度量纲L质量量纲M时间量纲T为基本量纲。导出量纲—由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：面积量纲dimA=L2密度量纲dimρ=ML-3速度量纲dimv=LT-1加速度量纲dima=LT-2力量纲dimF=MLT-2应力量纲dimp=ML-1T-2动力黏度量纲dimμ=ML-1T-1运动黏度量纲dimν=L2T-1综合以上各量纲式，某一物理量q的量纲dimq可用三个基本量纲的指数乘积式来表示，即dimq=MαLβTγ无量纲量当量纲式中各量纲指数均为零，即α=β=γ=0时，物理量q的量纲dimq=1，为无量纲量。例如有压管流中断面平均流速v、管道直径D和流体运动黏度ν的组合为DRev其量纲为4.3.2量纲和谐原理凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是Re是由3个有量纲量组合得到的无量纲量，即雷诺数。1dimdim121TLLLTDRev一致的。如伯努利方程中的各项均具有长度量纲。4.3.3量纲分析法（1）瑞利法（Rayleigh）若某一物理过程同几个物理量有关，即f（q1,q2,…qn）=0其中任一个物理量qi都可以用其他物理量的指数乘积来表示，即qi=Kq1aq2b…qn-1p其量纲式为dimqi=dim(q1aq2b…qn-1p)将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数a、b、…p等。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。【例2】求水泵输出功率的表达式。【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N,γ,Q,H）=0（2）指数积关系式N=KγaQbHc（3）量纲式dimN=dim(γaQbHc)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3=(ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c（5）根据量纲和谐原理求量纲指数M：1=aL：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-b解方程得，a=1，b=1，c=1。（6）整理方程得N=KγQHK为由实验确定的常数。问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3个方程求解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。（2）Π定理Π定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金汉（Buckingham）定理。若某一物理过程包含n个物理量，f(q1q2q3…qn)=0，其中有m个基本量，则该物理过程可由这n个物理量所构成的（n-m）个无量纲量所表达的关系式来描述，即F(Π1,Π2…Πn-m)=0因无量纲量用Π表示，故得名Π定理。【例3】求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。【解】1.根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强损失Δp、流体密度ρ、流体动力黏度μ、管道长度l、管道直径D、管道壁面粗糙度e与流速v，相关量数n=7。f(Δp,ρ,μ,l,d,e,v)=02.选取基本量。不可压缩流体的运动一般取m=3。本题中取v,D,ρ为基本量（分别含时间、长度和质量）。3.组成Π数。n-m=4，即4个Π数。1111cbaDpΠv2222cbaDΠv3333cbaDlΠv4444cbaDeΠv4.计算各Π数的量纲指数。21vpΠDΠv21Π)dim(dim111cbaDpv111)()()(3121cbaMLLLTTMLM：1=c1L：-1=a1+b1-3c1T：-2=-a1a1=2b1=0解得c1=12Π)dim(dim222cbaDv222)()()(3111cbaMLLLTTMLM：1=c2L：-1=a2+b2-3c1T：-1=-a1解得a2=1b2=1c2=1DlΠ30,,,21DeDlDpFvv3Π)dim(dim333cbaDlv333)()()(31cbaMLLLTLa3=0b3=1解得c3=04Π)dim(dim444cbaDev444)()()(31cbaMLLLTL5.整理方程解得a4=0b4=1c4=0DeΠ4或者求解0,,,,,,22222DeDlRepFDeDlDpFFvvvDeDlReFp,,32vΔp与管长l成正比，故DlDeReFp,42v上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称达西公式（Darcy)，λ为沿程阻力系数。gDlgDlDeReFgp22,225vv