§7.6 离散卷积(卷积和)

§7.6卷积（卷积和）一、卷积的定义二、离散卷积的性质三、卷积计算四、常用因果序列的卷积和(见下册P34)返回一．卷积的定义mmnmx)(nx)(ny)(nh)(n)(nhmnmxnxnxnxnx11011任意序列x(n)可表示为(n)的加权移位之线性组合:mnhmn从序列关系中我们已知：对于零状态的离散线性时不变系统，若就必有：时不变mnhmxmnmx均匀性mmnhmxnynhnx则输出卷积和的公式表明：返回h(n)将输入输出联系起来，即零状态响应=x(n)*h(n)系统对x(n)的响应y(n)=每一样值产生的响应之和，在各处由x(m)加权。mmnmxnx)(可加性那么，对于任意两个序列的卷积和我们可以定义为：mmnxmxnxnx2121二．离散卷积的性质1．交换律x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n)2．结合律x1(n)*[x2(n)*x3(n)]=[x1(n)*x2(n)]*x3(n)证明：x1(n)*x2(n)=证明:[x1(n)*x2(n)]*x3(n)=mmnxmx21kkxknx21=x2(n)*x1(n)令m=n-kn-m=kknxmkxmxmk321knxmkxmxmk321令r=k-mk=m+rrmnxrxmxmr321mmnQmx1=x1(n)*[x2(n)*x3(n)]4．其它一些性质x(n)*(n)=x(n)返回x(n)*u(n)=ninxy(n-n1-n2)=x1(n-n1)*x2(n-n2)y(n)=x1(n)*x2(n)=x1(n)*x2(n)x1(n)*=x1(n)*x2(n)niix2niix2niix1niis=*x2(n)=x1(n)*3．分配律x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)证明:x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=mmnxmnxmx321mmmnxmxmnxmx3121=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)三.卷积计算mmnhmxnh*nxnym的范围由x(n)、h(n)的范围共同决定。1.y(n)的序列元素个数?若：，序列21)(nnnnx43)(nnnnh序列序列则)(ny4231nnnnn个元素：430)(nnx个元素：540)(nnh个元素：870)(nny例如：若x(n)的序列长度为n1、h(n)的序列长度为n2，则y(n)的序列长度为n1+n2-1返回1.解析式(表达式）法求卷积（例7-6-1、例7-6-2）2.图解法求卷积:（例7-6-3）3.对位相乘求和法求卷积（例7-6-4）4.利用性质求卷积（例7-6-5、例7-6-6）5.利用单位样值信号(n)求卷积（例7-6-7）6.利用z变换求卷积7.利用计算机求卷积（FFT快速傅氏变换）2.几种常用的求卷积方法例7-6-1。求卷积已知)()()(,,10nhnxnynunhnunxnnhnxnynmm,0:宗量0,0nnm即：)()(0nunynmm从波形图中可见求和上限n,下限0nuny11mmmnumu)()(nun111时当n要点：定上下限返回波形o123)(nxnnnh1123oo123mnhmuamm0no123mnhmuam1nmnyno1234111nuαααnunynnmm11)()(10nuαnyn11时，当返回已知离散信号x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)用函数式求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-2mmnxmxnx*nxny2121166mnumnumumummmmmmmnummumnummumnummumnummu16166651616106660numnumnumnumnmnmnmnm由卷积定义516105010605060nummnumnummnumnmmnmnmmnm51521211212115762167621nunnnunnnunnnunn51212151567621nununnnununununn返回已知离散信号x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)用图解法求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-3mmnxmxnx*nxny2121图解法求卷积可分为：序列倒置移位相乘取和4步首先将x2(n)反褶，然后确定x2(n-m)非零值区间的横坐标，其下限为n+2，上限为n+6，如图所示。根据卷积的定义式:o52m1443x1(m)o621mx2(-m)o6n2n1mx2(n-m)再将x2(n-m)平移，并分区间求出卷积结果。o52m1443x1(m)o6n2n1mx2(n-m)1.当n+60时，即n6，y(n)=x1(n)*x2(n)=02.当n+26时，即n4，y(n)=x1(n)*x2(n)=03.当n+61和n+25时，即-5n，为y(n)的非0区间（1）当n+61和n+65时，即-5n-1，（2）当n+66和n+25时，即0n31576216121nnnmnx*nxnynm152051025221njmnmnmjmmmnx*nxny302121151512221nnnnn返回403012211515-76216021nnnnnnnnnxnxny则结果与例7-6-2相同.)()(,1,2,3)(1,2,3,4)(210201nxnxnynxnxnn求：，，已知例7-6-4使用对位相乘求和法求卷积步骤：两序列右对齐→逐个样值对应相乘但不进位→同列乘积值相加（注意n=0的点）123:02nnx12341234:01nnx2468369121410161712:0nny14101617120，，，，，所以nny返回此方法适应于时限序列。此方法适应于时限序列。)2()1()()(nnnnx)2(3)1(2)()(nnnnh利用分配律)2(3)1(2)()()(nnnnhnx)4(3)3(5)2(6)1(3)(nnnnn。，求，，已知)()(321)(,)(03nhnxnhnRnxn例7-6-5)3(3)2(2)1(nnn)4(3)3(2)2(nnn返回已知离散信号x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)利用差分性质求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-6ninininiiiiuiuiix6016又niix1*x2(n)niix2因为：x1(n)*x2(n)=x1(n)*6156121615121121nunununnnununnnunnx2(n)=[u(n+6)-u(n+1)]-[u(n+5)-u(nn+6)-(n+1)y(n)=x1(n)*x2(n)于是*x2(n)niix1166156121nn*nunununn51212151567621nununnnununununn这与前面所得结果是相同的，但运算过程比较简单。返回已知离散信号x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)例7-6-7利用单位样值信号(n)求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为对于本例利用单位样值信号的卷积性质(n-n1)*(n-n2)=(n-n1-n2)mmnmxnxmmmnmumummnmxnx611(n-1)+2(n-2)+3(n-3)+4(n-4)+5(n-5)x2(n)(n+6)+(n+5)+(n+4)+(n+3)+(n+2)3529112141152103643521nδnδnδnδnδnδnδnδnδnxnxny结果如图所示。说明:这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函数表达式的闭式形式。返回oy(n)nn461361015141295