第1部分 第三章 3.2 3.2.1 第一课时 对数的概念及其运算

3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章基本初等函数(Ⅰ)知识点二考点一考点二考点三知识点三知识点一知识点四第一课时返回返回返回返回返回返回问题1：若2x＝8，(13)x＝27，x的值分别为多少？问题2：若2x＝0，(13)x＝－1，这样的x存在吗？提示：3－3提示：不存在．问题3：若2x＝3，(13)x＝4，如何求指数x?提示：利用对数求解．返回对数的概念对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作，即．其中，数a叫做对数的底数，N叫做，读作“”.logaNb＝logaN(a0，且a≠1)真数b等于以a为底N的对数返回返回根据对数的定义：对数式b＝logaN是ab＝N的另一种形式．问题1：试求2log24的值．提示：因为22＝4，log24＝2，所以2log24＝4.问题2：由34＝81与4＝log381你能得出什么结论？提示：3log381＝81.返回指数式与对数式的互化ab＝N⇔对数恒等式alogaN＝对数的性质①底的对数等于，即logaa＝②1的对数等于，即loga1＝③零和负数没有对数常用对数以10为底的对数，即log10N＝lgNb＝logaNN11零0返回返回问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么logaM·N＝logaM·logaN正确吗？举例说明．提示：不正确，例如log24＝log22×2＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.问题2：你能推出loga(MN)(M0，N0)的表达式吗？提示：能．令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n.由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n，∴logaMN＝logaM＋logaN.返回对数的运算性质若a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝；(2)logaMN＝；(3)logaMn＝．(n∈R)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM返回返回已知对数log864，log264，log28，log464，log48.问题1：对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？提示：log864＝2，log264＝6，log28＝3,log864＝log264log28.问题2：对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？问题3：由问题1，2你能得出什么结论？提示：log864＝2，log464＝3,log48＝32，log864＝log464log48.提示：logbN＝logaNlogab.返回1．换底公式对数的换底公式：logbN＝(a，b0，a，b≠1，N0)．2．自然对数(1)以为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作．(2)自然对数与常用对数的关系：lnN≈lgN.无理数elnN2.3026logaNlogab返回(1)对数式logaN＝b可看做一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a0，a≠1)的解；也可以看做一种运算，即已知底为a(a0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式logaN＝b又可看做幂运算的逆运算．(2)在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M0，N0，a0，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．返回返回返回返回[例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；(2)(14)－2＝16；(3)log128＝－3；(4)log3127＝－3.[思路点拨]依据ax＝N⇔x＝logaN(a0且a≠1)进行转化．返回[精解详析](1)∵53＝125，∴log5125＝3.(2)∵(14)－2＝16，∴log1416＝－2.(3)∵log128＝－3，∴(12)－3＝8.(4)∵log3127＝－3，∴3－3＝127.返回[一点通](1)在利用ax＝N⇔x＝logaN(a0且a≠1)进行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置．(2)对数式与指数式的关系如图：返回1.下列指数式与对数式互化不．正确的一组是()A.e0＝1与ln1＝0B.813＝12与log812＝－13C.log39＝2与912＝3D.log77＝1与71＝7解析：C不正确，log39＝2应转化为32＝9.答案：C返回2.将下列指数式化成对数式，将对数式化为指数式：(1)log216＝4；(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6；(4)logx64＝－6；(5)3－2＝19；(6)πx＝8.返回解：(1)24＝16；(2)(13)－3＝27；(3)(3)6＝x；(4)x－6＝64；(5)log319＝－2；(6)logπ8＝x.返回返回[思路点拨]解答本题可利用对数的性质及对数恒等式alogaN＝N来化简求值．[例2]计算：(1)log2(log55)；(2)221log52；(3)22＋log25.返回[精解详析](1)原式＝log21＝0；(2)221log52＝22log5＝5.(3)22＋log25＝2log24＋log25＝2log220＝20.[一点通](1)对数的基本性质常用来化简或求值，应用时注意底数的恰当选用．(2)对数恒等式注意事项：①两底相同，即幂底与对数底相同；②对数的系数必须是1.返回3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2.其中，正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④解析：lg(lg10)＝lg1＝0，ln(lne)＝ln1＝0，故①②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误．答案：C返回4．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝()A.1049B.710C.107D.4910解析：3a－b＝3a3b＝3log3103log37＝107.答案：C返回5．若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则ab＝________．解析：由log3[log4(log5a)]＝0知log4(log5a)＝1，∴log5a＝4，即a＝54，同理可得b＝53，∴ab＝5453＝5.答案：5返回返回[例3](12分)计算下列各式的值：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(2)12lg3249－43lg8＋lg245；(3)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路点拨]利用积、商、幂的对数的运算性质求解．返回[精解详析](1)法一：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(4分)法二：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg14×7（73）2×18＝lg1＝0.(4分)返回(2)原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.(8分)(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(12分)返回[一点通]对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．返回6．当a0，且a≠1时，下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN2返回解析：在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M0，N0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．答案：B返回6．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.答案：C返回7．求2log32－log3329＋log38－5log53的值：解：原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1；返回(1)在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log-39＝2.只有符合a0，a≠1，且N0时才有ax＝N⇔x＝lgaN.返回(2)利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：对于式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：对于式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．返回