第2-1 控制系统的时域数学模型

第一节时域数学模型—微分方程第二章控制系统的数学模型第一节控制系统的时域数学模型项目内容教学目的如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。教学重点如何建立控制系统的时域数学模型。教学难点及其处理关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。数学模型的基本概念数学、工程、控制三者的统一中学时的函数概念：在电路的学习中对函数概念的理解：自动控制系统对函数概念的理解：()yfxxy自变量，因变量xy激励电路系统响应xy控制量控制系统被控制量研究对象的复杂程度加深一引言同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，因此可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控制三者联系统一起来。学习自动控制原理的思维方式：数学的方法，工程的意识，控制的语言。数学模型的定义：能够描述控制系统内部物理量（或变量）之间关系的表达形式。实际物理系统理想化物理模型数学化数学模型线性化线性数学模型无量纲化可用数学模型标准化标准数学模型按输入输出的表达形式数学模型的分类微分方程（时间域）传递函数（复数域）动态结构图（各元件传函的连接关系）响应曲线频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）状态变量形式状态方程（时间域连续系统）差分方程（离散系统）分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。建立数学模型的目的分析法（机理模型）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式试验法（实验建模）：对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性数学模型建立（建模）的方法9建立合理的数学模型的原则建立的数学模型既有准确性，又有简化性一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：式中，c(t)是被控量,输出量；r(t)是控制量，输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定。1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddactactactactdtdtdtdddbrtbrtbrtbrtdtdtdt微分方程的一般形式mn二时域数学模型-微分方程建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤I.根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；II.按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；III.在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；IV.消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；V.对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式。确定输入输出量列写相应微分方程微分方程消去中间变量整理标准形式建立系统或元件微分方程的步骤例1对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。电气系统(1)确定元件的输入、输出Input：ui(t)Output：uo(t)()()odutitCdt又因为(3)消去中间变量i(t)()()()oiodututRCutdt(4)标准化()()()ooidutRCututdt解：()()()ioutRitut(2)由基尔霍夫电压定律，得例2对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。11()()()0iRCututut12()()()0CRoututut111()()RutRit222()()RutRit11211()[()()]CutititdtC221()()outitdtC对L1，由KVL得对L2，由KVL得列出各元件的输入变量和输出变量的关系式R1：R2：C1：C2：解：121122112222()()()()()oooidutdutRCRCRCRCututdRdCtt3212122()()()()()oooiTdutdutTTTTututdtdt111TRC222TRC312TRC或式中：提醒注意上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：1111()()()ccidutRCututdt221()()()oocdutRCututdt消去中间变量uc1(t)，得：2112211222()()()()()oooidutdutRCRCRCRCututdtdt原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。例3由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。01()()0itit00()()iRitut1111()()()oRititdtutC由KVL：1、由KCL：2、消去中间变量并标准化，得：01()()itit、i01i()()()odutdutRCRCutdtdtii()()()odutdutTutdtdt或解：机械系统例4一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试列写质量m在外力F(t)作用下，位移y(t)的运动方程。f22()()()()kfdytFtmgFtFtmdt()()fFtfvfdytdt1、由牛顿第二定律：由虎克定律：摩擦力和速度成正比：0()[()]kFtkyty0kymg其中22()()()()dytdytmfkytFtdtdt2、消去中间变量Fk(t)和Ff(t)，并整理得：f22()()()()dytdytmfkytFtdtdt机械力学系统的数学模型：211221122122()()()()()oooidutdutRCRCRCRCRCututdtdt相似系统是具有相同结构微分方程的系统，便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。提醒注意两级滤波电路网络的数学模型：相似系统建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。注：常见的基本定律有：牛顿三大定律（惯性定律、加速度定律、作用和反作用定律）、能量守恒定律、动量守恒定律、基尔霍夫电压、电流定律，物质守恒定律及各学科导出定律。小结非线性数学模型线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区yyyxxxxfy0000,,)(在平衡状态点运用台劳级数展开为)(xfy小偏差线性化法设连续变化的非线性函数)(xfy平衡状态A为工作点202200)()(!21)()()()(00xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)()()()(0000xxdxxdfxfxfyyxxKy具有两个自变量的非线性函数的线性化)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx增量线性方程2211xKxKy例1对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。电气系统思考uo(t)输出量的变化过程是什么？()()()ooidutRCututdt机械系统例4一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试列写质量m在外力F(t)作用下，位移y(t)的运动方程。位移y(t)的运动过程如何变化？22()()()()dytdytmfkytFtdtdt