y21椭圆及其标准方程第二课时

满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？•(1)平面上----这是大前提•(2)动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a•(3)常数2a要大于焦距2c1222MFMFac42222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系根据所学知识完成下表xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b24例1已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。.以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。所以可设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab1162522yxBCAyox解：16,6ABBCACBC10,ABAC10BC且根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆，且B、C为焦点210,26ac2225,3,16acbac∴所求椭圆的标准方程为：(0)y例1.已知椭圆方程为,2212516xyF1F2CD(1)已知椭圆上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是；（2）若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为，∆F2CD的周长为。41620练习.(1)椭圆上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（）A.5B.7C.8D.102212516xy13(2)已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：)0(1162522yyx变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。14(3)将所表示的椭圆绕原点旋转90度，所得轨迹的方程是什么？2212516xy2212516yx答：9例1已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。.以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。所以可设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab1162522yxBCAyox解：16,6ABBCACBC10,ABAC10BC且根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆，且B、C为焦点210,26ac2225,3,16acbac∴所求椭圆的标准方程为：(0)y例2、如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？224yx分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动。224yx解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=x0,y=y0/2.因为点P(x0,y0)在圆上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以点M的轨迹是一个椭圆。22400yx224yx2244yx2214xy例3、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。49解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线AM的斜率(5);5AMyxxk同理，直线BM的斜率(5);5BMyxxk由已知有4(5)559yyxxx化简，得点M的轨迹方程为221(5).100259xyx[一点通]求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先设出动点的坐标为（x,y）,然后通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形中的几何关系，若几何关系满足椭圆的定义，可以设出对应椭圆的标准方程，再求出其中a，b的值，得到椭圆的轨迹方程．解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且2a＝8,2c＝6，b＝a2－c2＝7，∴M的轨迹方程是x216＋y27＝1.8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．14例.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y),半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程x2+y2+6x+5=0x2+y2-6x-91=0配方，得（x+3)2+y2=4(x-3)2+y2=100当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2①当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R②①、②式两边分别相加，得|O1P|+|O2P|=12即12)3()3(2222yxyxO1PXYO215化简并整理，得3x2+4y2-108=0即可得1273622yx所以，动圆圆心的轨迹是椭圆1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上．3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．181221212254,P1,FF,FPF30,FPF.【例】如图所示点是椭圆上的一点和分别是椭圆的左､右焦点且求的面积xy1912122212122121212F1PF22122 [],P,PFPF2a2FPF30,PFPF2PFPFc15,2,1.545(23os30FF4,PFPF|16,)|3),143.2PFPF16(2SPFPFsin308xyabc解在椭圆中又在椭圆上①又根据余弦定理得②①式平方减②式得题型二、复习回顾：♦1求动点轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P（M），列出方程（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)(,)0fxy(,)0fxy（4）化方程为最简形式；3.列等式4.代坐标坐标法5.化简方程1.建系2.设坐标小结:(1)定义的应用(2)进一步求轨迹方程作业：P42134