第十讲-虚功原理与单位载荷法

第11章能量法（一）§1外力功与应变能§2互等定理§3余能与卡氏第二定理§4变形体虚功原理§5单位载荷法讲授内容上讲回顾余功与余能ComplementaryWorkandComplementaryEnergyFfW0cd0dfWFWWc弹性体的余能Vc数值上等于余功：ccWV余功的定义:上讲回顾单向应力状态下的余能密度为故拉压杆与梁的余能为*0cdvVVV*0cdd余能计算《材料力学（II）》第1版，单辉祖编著，高教社克罗第－恩格塞定理ckkFV弹性体的余能对载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移k－克罗第－恩格塞定理卡氏定理εcVVεkkFV线性弹性体的应变能，对载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移k－－卡氏第二定理xFMEIxMxFMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFΔkzlzzkylyyklklkd)(d)(d)()(d)()(tNN对于线性弹性体：卡氏定理1）适用于线弹性体；2）附加载荷法；3）引入新变量，区分相关载荷；4）求相对位移；5）正确理解载荷相应位移的概念。应用卡氏定理的几个问题：§4变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理的证明变形体虚功原理几个概念1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为静力可能内力或可能内力1、可能内力与外力（静力许可场）2）杆的可能内力用FN,T,FS与M表示）可能内力与外力结构的静力许可场1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形2、可能位移与可能变形（运动许可场）3）杆微段的变形用d,df与dq表示2）杆件的位移：,(),(),()lxwxxq几个概念运动许可场变形体虚功原理可能内力满足：可能位移与变形满足：ddddSSFxM,qxF（平衡条件）0)(lM（静力边界条件）dd*x*wq（变形连续条件）0)0(0)()0(*,l*w*wq（位移边界条件）例如可能内力变形体虚功原理12,0NNFPFPx12l2l1APyP2NF1NFP12l2l1APx2NFPy1NF13cos,sinsinNxyyNFPPPF可能内力变形体虚功原理Px132l2l3l1APy1323cossinNNxNNyFFPFFP平衡方程有无数内力解答；任一组内力解答均为可能内力Px2NFPy3NF1NF132l2l3l1AA’Δl2Δl1Δl3可能变形变形体虚功原理132l2l3l1A213sincoslllA’Δl2Δl1Δl3213sincoslll满足变形协调条件的任一组变形均为可能变形假想的、微小的可能位移，称为结构的虚位移，相应之变形称为虚变形杆微段的虚变形用d*、df*与dq*表示3、虚位移与虚变形4、虚功（以梁为例）结构的外力与内力()qx()Mx任取结构的虚位移与虚变形()wx*dq*eWiW几个概念如何表示？二者的关系？如温度变形5、内力虚功与外力虚功作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功－内力虚功iN(d*d*d*)lWFTMfqiN(d*d*d*d*)yyzzlWFTMMfqq外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功()*()dqeeepPlWqxwxxMFu**变形体虚功原理可以证明：外力在虚位移上所作外力虚功We，等于可能内力在虚变形上所作内力虚功Wi，即We＝Wi称为变形体虚功原理（虚位移原理）PrincipleofVirtualWork变形体虚功原理的例证可能内力满足：虚位移满足：ddddSSFxM,qxF（平衡条件）0)(lM（静力边界条件）dd*x*wq（变形连续条件）0)0(0)()0(*,l*w*wq（位移边界条件）lxxF*wWSedddlMWi*dqlMWe*dqieWWlxq*wWedlxxMd*dd0qllMM0*d*qq0)(lM0)()0(l*w*w0)0(*q外力虚功内力虚功比较llxx*wF*wFS0Sddd证毕！变形体虚功原理的例证——讨论讨论：1）简支梁：位移边界条件与静力边界条件0)(lM0)()0(l*w*w()00MlxxF*wWSeddded*ilWMWqlxxMd*dd0q0d**llMMqqllxx*wF*wFS0Sddd变形体虚功原理的例证——讨论2）悬臂梁：位移边界条件与静力边界条件lxxF*wWSeddded*ilWMWqlxxMd*dd0q0d**llMMqqS0Sddd**llFFxwwx0)(lM()*00w()*00q()0SFl适用于线弹性、非线弹性、非弹性体关于变形体虚功原理()qx外力()Mx内力()wx*虚位移dq*虚变形满足变形协调条件、位移边界条件静力许可场运动许可场彼此独立eW外力虚功iW内力虚功满足平衡方程、静力边界条件§5单位载荷法单位载荷法的基本公式单位载荷法的常用公式例题qqflzzyyxMxMxTxFΔN)d()d()d()d(1单位载荷法的基本公式qqflzzyyxMxMxTxFN)d()d()d()d(结构的载荷状态构造单位(载荷)状态ddddyzfqq，，，运动许可场1NyzFTMM，，，静力许可场－线位移，加单位力－角位移，加单位力偶－相对线位移，加一对相等相反单位力－相对角位移，加一对相等相反单位力偶关于位移与单位载荷关于位移方向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向－广义位移，施加相应单位广义载荷qqflzzyyxMxMxTxFN)d()d()d()d(实际变形由载荷状态下的实际内力确定xEIxMxMld)()(线弹性拉压杆与桁架：处于平面弯曲的线弹性梁与刚架：基本变形情况niiiiiiAElFF1NNlxGIxTxTpd)()(xGIxTxTld)()(txEAxFxFld)()(NN线弹性轴：单位载荷法的常用公式单位载荷法的常用公式lzzzyyyxEIxMxMxEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFtNNd)()(d)()(d)()(d)()(EAxxF)d(dNyyyEIxxM)d(dqt)d(dGIxxTfzzzEIxxM)d(dq组合变形情况对于线弹性杆或杆系，微段变形与内力关系：例题解：1.构造单位载荷状态2.求支反力，建立弯矩方程分段与坐标应相同时与建立弯矩方程,)()(xMxM例5-122222)(xqqaxxM,1)(222xxxM,1)(111xxxM112)(xqaxMAB段：BC段：3.位移计算)(xEIxMxMlAyd)()(EIqa834202222d21xxqqaxxEIaaAyxxqaxEI0111d21例5-2求qA=?应如何分段，坐标系如何选取？解：1.构造单位载荷状态2.分段建立弯矩方程分段与坐标应相同时与建立弯矩方程,)()(xMxM解：影响小曲率梁变形的主要内力－弯矩-1)(fMfffqd)()(π0/REIMMBAffqd)sin(-(-1)1π0/RFREIBA例5-3一小曲率梁，求截面A与B间的相对转角ffsin)(FRM()EIFR22π/0()()11dABABMMREIffqqfq由虚功原理可得1011d)()(xEIxMxMaAyAB段：BC段：11-)(xxM11-)(FxxM22-)(xxM22-)(FxxMaxT-)(2FaxT-)(2例5-4解：llxEIxTxTxEIxMxM02t222022d)()(d)()(()t2333)(GIlFaEIlaFAy112222122000t()()()()()()dddallAyMxMxMxMxTxTxxxxEIEIGIAB段：BC段：11-)(xxM11-)(FxxM22-)(xxM22-)(FxxMaxT-)(2FaxT-)(21122122000tdddallAyxFxxFxaFaxxxEIEIGI1AywBwBa例5-5杆1：;杆2：=E。求Byc解：lByxF)d(N21NiiilFFFN1FF2-N21N1F2-N2F1.内力分析11cFFN1FF2-N21N1F2-N2F21NiiiBylF22222EAFlcAlF2.位移计算2N21N1lFlFByEAlFl2N221221111lcll222222N1cAlFcAlFEAFlEAlF22)2(-