奈奎斯特稳定性判据

韩春艳奈奎斯特稳定性判据2012年9月一、奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特围线是如下点的集合：s平面上轴上除了极点外所有点的集合，加上轴上极点处半径为无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s平面半径为无穷大半圆上点的集合。【1奈奎斯特围线】jj【2奈奎斯特曲线】奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线，按规则在平面上的影射。()()GsHs()()GsHs一、奈奎斯特稳定性判据在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数在右半s平面极点的个数P，可利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。负反馈闭环系统，当其开环频率特性不通过[GH]平面上点时，则闭环传递函数位于s右半平面极点的个数为【3奈奎斯特稳定性判据】()()GsHs(1,j0)(1)一、奈奎斯特稳定性判据式中：P—开环传递函数位于右半s平面极点的个数；—半奈式曲线逆时针方向穿越点左侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止于点左侧实轴的次数，折半计算—半奈式曲线顺时针方向穿越点左侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止于点左侧实轴的次数，折半计算Z—闭环传递函数，位于右半s平面极点的个数，即特征方程位于右半s平面根的个数。【3奈奎斯特稳定性判据】N(1,j0)(1,j0)N(1,j0)(1,j0)一、奈奎斯特稳定性判据【3奈奎斯特稳定性判据】由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是(2)由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是；发散不稳定的充分条件是。NNNN当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线在点左右作微小移动时，会使系统由渐近稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定变成渐近稳定，系统称为临界稳定。(1,j0)开环幅相曲线的绘制)(),(A3)曲线变化范围：——由表达式取点，计算，描点。概略曲线——工程方法。精确曲线概略幅相曲线的三要素：01）起点：终点：2)与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx；象限，单调性。一、奈奎斯特稳定性判据【4Nyquist相曲线的绘制】——对应的0)()(jGjG1起点)()1()1()()(11nmsTssKsHsGiniimi01234321K02终点mnmn1mn2mn4mn3mnKjHjG)0()0(090)0()0(jHjG0180)0()0(jHjG0270)0()0(jHjG0360)0()0(jHjG0)()()(11jHjGTKAiniimi)(90)()(0)(mnjHjGA——对应的)()(jGjG4一、奈奎斯特稳定性判据3与实轴的交点0)(xV4曲线变化范围（象限及单调性）:K:K:11Ts:11Ts:1Ts:1Ts:1)/(2)/(12nnss:1)/(2)/(12nnss:1222ssnn:1222ssnn:1s:s——穿越频率x0000009000090001800018000090900090900018018000900009000180001800当G(jω)H(jω)包含非最小相位环节或一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会有凹凸点，即相角不会单调减少。......2,1,0,)(kkx一、奈奎斯特稳定性判据二、对数频率特性稳定性判据在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半s平面极点个数P及对数幅频特性、相频特性，且时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性判据是一致的，只是坐标系不同而已。(3)()(21)180ck负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为【1对数频率特性稳定性判据】二、对数频率特性稳定性判据式中：P—开环传递函数位于右半s平面极点的个数；—相频特性曲线正穿越次数。在对应的频率范围内，自下而上穿越线的次数，其中自下而上起始于或终止于该线的次数，折半计算；—相频特性曲线负穿越次数。在对应的频率范围内，自上而下穿越线的次数，其中自上而下起始于或终止于该线的次数，折半计算；Z—闭环传递函数，位于右半s平面极点的个数，即特征方程位于右半s平面根的个数。NN()0L()(21)180k()0L()(21)180k二、对数频率特性稳定性判据由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是(4)由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是；发散不稳定的充分条件是。NNNN在的条件下，当系统参数有微小变化使时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这种条件下，称系统为临界稳定。cgcgkkGGGjHjGGGGjHjGL2121)()()(lg20lg20lg20)()(lg20)(即总的曲线等于各典型环节的叠加。)(),(L1)分解)()(sHsG2步骤1思路：将复杂的G(s)H(s)分解为典型环节的串联)()......()()()(321sGsGsGsGsGk比例积分、微分一阶惯性、一阶微分二阶振荡、二阶微分2)求各环节转折频率，并从小到大排列：最小的转折频率ωmin和最大的ωmax。【2开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】3)低频段)()(aaL斜线水平线decdBsKLa/201lg20)(位置确定：(三种方法)③取0)(0aL由K和积分环节决定.ωωmin：0lg20lg20K①在ωωmin上任取ω0，计算4)ωminωωmax：按转折频率对应的环节绘制5)必要时作修正.1/0K即10KKLalg20)1(:10②线线00900)(三、例题详解【例1】某系统的开环传递函数，其无零点二节环节的幅相特性曲线如下图所示。试求使系统稳定的取值范围。1()()sGsHse1()()GsHs三、例题详解【解答】由给定条件可知：其幅频特性和相频特性：三、例题详解【解答】由式（2），当时，有290arctanT=135则，即；；T=1=0.5T由式（1），当时，有22221KT得=4K三、例题详解【解答】三、例题详解【例2】某单位负反馈系统，其开环传递函数为试大致画出奈奎斯特图，并确定使系统渐近稳定的K取值范围。三、例题详解【解答】三、例题详解【解答】三、例题详解【例3】某负反馈控制系统，开环传递函数试：（1）画出幅相特性曲线；（2）判定稳定性。三、例题详解【解答】(1)幅相特性曲线21212222222221212()1(j)(j)j(1)(1)(1)(1)KTTTTGHTTTT幅值变化：(0),()0AA相角变化：:00K1:9090j11:045901jT21:045901jT():90270三、例题详解【解答】(2)系统稳定性0,1Pv_2()02(01)2ZPNN系统在条件下，发散不稳定。12121TTKTT三、例题详解【例4】某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为试:（1）画出半奈奎斯特曲线；（2）判定系统的稳定性。(1)()(),(1)(0.11)KsGsHsKss三、例题详解【解答】(1)半奈奎斯特曲线幅值变化：(0),()0AA相角变化：:180180K1j:045901:045901j0.1():27090222(1j)1.110.1(j)(j)jj(j0.11)(10.01)(10.01)KGHKK1:9090j三、例题详解【解答】(2)系统稳定性1,1Pv_2()0ZPNN系统为渐近稳定系统。三、例题详解【例5】某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为试:（1）画出半奈奎斯特曲线；（2）判定系统的稳定性。210()()(0.20.81)GsHssss三、例题详解【解答】(1)半奈奎斯特曲线幅值变化：(0),()0AA相角变化：():270270首先把写成标准形式：()()GsHs10()()(0.21)(1)GsHssss频率特性：22222810(10.2)(j)(j)j(10.04)(1)(10.04)(1)GH三、例题详解【解答】(2)系统稳定性1,1Pv_2()2ZPNN系统为发散不稳定系统。三、例题详解【例6】设某负反馈系统的频率特性曲线如下图所示。开环增益，S右半平面极点数，坐标原点极点数。试确定使系统渐近稳定的K取值范围。500K0P2v三、例题详解【解答】首先将各点的坐标改写成闭环系统渐近稳定的条件：0.052050,,500500500KKK2010.05500500KK或150500K由2010.05500500KK得2510000K由150500K得010K三、例题详解【例7】某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为：210()(2)Gsss试：（1）画出半奈奎斯特曲线；（2）用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性三、例题详解【解答】(1)半奈奎斯特曲线而的极值为－9.193()2y分母的极值：221010(j)j(0)j[(j)2](2)G，令2d()320ydω得20.816,(0.816)1.093yIm[(j)]G三、例题详解【解答】(2)系统稳定性_2()2ZPNN系统为发散不稳定系统。三、例题详解【例8】某单位负反馈系统，其开环传递函数为：22()(1)Gsss试：（1）绘制开环频率特性极坐标草图；（2）利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。三、例题详解【解答】(1)极坐标草图22()(0,1,2)(1)GsKpvss，开环传递函数的标准型2222222(j)j(j)(1j)(1)(1)G三、例题详解【解答】(2)系统稳定性_2()12(00.5)2ZPNN系统为发散不稳定系统。三、例题详解【例9】某控制系统如下图所示，试用奈奎斯特判据判定系统的稳定性.三、例题详解【解答】由于线性系统的稳定性与输入无关，可令并将3与并联作为。这样有24(12)()()(1)sGsHsss渐近稳定系统()0rt(81)s()Hs22224(12)4(j)(j)j(1)(1)GH_2()0ZPNN三、例题详解【注意】此题不要按单位负反馈系统求开环传递函数22233(1)()81(1)811(1)ssGsssssss尚需求出P并画图，这是很繁琐的。三、例题详解【例10】某单位负反馈系统，其开环传递函数为210()(2)Gsss试：（1）画出Bode图；（2）利用对数判据判定系统的稳定性。三、例题详解【解答】(1)Bode图2()[()2()1]nnKGssss首先把开环传递函数按画Bode图需要写成标准型本题中：n5,2,0K三、例题详解【解答】(2)系统稳定性_2()2ZPNN系统发散不稳定三、例题详解【例11】已知单位负反馈系统的开环传递函数为：22()(1)Gsss试：（1）画出Bode图；（2）利用对数判据判定系统的稳定性。三、例题详解【解答】(1)Bode图22(),0,12(1)GsKpvss（，）首先把开环传递函数按画Bode图需要写成标准型由260lg40lg11c得1.26c三、例题详解【解答】(2)系统稳定性_2()2ZPNN系统