计算流体力学2

计算流体力学第二章流体力学数值计算数学模型及定解条件☆本章所涉及的基本方程有两类：●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能量守恒●简化模型方程：具有流体力学基本方程的某些特性，用于对所对应的流体力学方程理论分析2．1可压缩非定常粘性流数学模型连续方程：运动方程：能量方程：上述基本方程构成了Navier-Stokes(简称NS)方程。0)(Vt])([VxuxuxpFDtVDijijjijqTkVVFVeDtDij)()()2(2计算流体力学在三维直角坐标系下Navier-Stokes方程为：zGyFxEzGyFxEtUvvvtEwvuUupEuwuvpuuEt)(2vpEvwpvuvvFt)(2wpEwvwuwwGt)(2xTkwvuExzxyxxxzxyxxv0yTkwvuFyzyyxyyzyyxyv0zTkwvuGzzyzxzzzyzxzv0计算流体力学)](24[3zwyvxuxx)](24[3xuzwyvyy)](24[3yvxuzwzz][xvyuyxxy][xwzuzxxz][ywzvzyyz上述方程组不封闭，还需要补充数学关系式：１）状态方程：２）物性系数与状态参数关系：)T,(kk),T,()1r(RT)1r(pe计算流体力学2．2不可压缩非定常粘性流数学模型当来流Ｍ数小于0.2时，为不可压流动，以下为二种不可压粘性流动控制方程。1）不可压流Navier-Stokes方程连续方程：运动方程：能量方程：2）流函数-涡量方程:对于平面流动:0VVpFDtVDqTkDtDe22))(())((FtyFxFyxxytxy)(V,,vuuvyxxy平面流动速度与流函数涡量关系:计算流体力学2.3无粘流数学模型1）欧拉方程：2）全位势方程：上式中:α为音速;3）不可压流全位势方程：0zGyFxEtU0222)()()(222222222222222zyvwzxuwyxuvzwayvaxua0222222zyxV计算流体力学2.4常用的模型方程●流体力学基本方程大都为复杂、非线性方程（组），从数值计算角度分析研究比较困难。并且迄今为止还没有形成成熟的理论。●为了认识基本方程的数学性质，常用一些简单的线性数学方程作为替代进行研究。●这些方程具有基本方程的某些特征，称之为模型方程1）对流方程：★此方程是双曲型方程，形式类同于一维欧拉方程。0xt计算流体力学2）伯格斯（Burgers）方程：★是一个非线性方程，具有NS方程类似的性态，式中系数β相当于流体的粘性系数。3）对流—扩散方程：★这个方程和伯格斯方程同属双曲—抛物型方程，但它是线性的，比较简单。★当β=0时，退化成双曲型方程，当α=0时，则变成抛物型方程4）抛物型方程：22xxt22xt222xxt计算流体力学5）椭园型方程：★称为泊松方程，其右端函数项f为已知；★若f=0,则成为拉普拉斯方程。f计算流体力学2．5偏微分方程的数学性质及其与流体运动的关系流体力学基本方程及模型方程属偏微分方程（组），由于方程的复杂性通常无法采用积分方法求精确解，但可将其离散进行数值求解。流体力学方程（组）的数值求解需符合流动的物理规律，同时边界条件的给定也要遵循流动的物理规律，因此首先需了解方程的数学性质。2．5．1拟线性偏微分方程组的分类◇拟（准）线性方程组对于流体力学控制方程，所有最高阶偏导数项都是线性的（这些项前仅有一个系数项，系数项是变量的函数、没有最高阶偏导数与偏导数项的乘积）计算流体力学◇拟线性方程（组）的数学性质以下列拟线性方程组为例式中，系数项是x,y,u,v的函数。u,v是因变量为独立变量x,y的函数，并且u,v是x,y的连续函数。将下式：与以上四式组合在一起并写成矩阵形式可得1111uuvvbcdfxyxy1a2222uuvvbcdfxyxy2a11111,,,,abcdf22222,,,,abcdfuududxdyxyvvdvdxdyxy（2.21）（2.22）计算流体力学令矩阵[A]为上式的系数矩阵，即：并将[A]矩阵的第一列用(2.23)式右侧矢量替代构成矩阵[B]11111222220000uxabcdfuabcdfydxdyvduxdxdydvvy111122220000abcdabcdAdxdydxdy（2.23）11112222000fbcdfbcdBdudydvdxdy计算流体力学根据Gramer法则，有同理可求出du,dv,dx,dy计算：在xy平面内任一点P，过P点作一曲线ab，如果点2无限接近于P点，则：☆ab曲线是任意选定的，其选择不影响计算结果。☆但如果选择的方向使得则无法采用(2.24)计算值ef称为通过P点的特征线BuxA(2.24),,uvvyxy2222;;;ppppdxxxdyyyduuudvvv图2.1特征线示意图0Aux计算流体力学所谓特征线即为通过xy平面内某点P的曲线，沿此曲线方向无法确定u和v的偏导数值。因此可通过求解：确定特征线。由展开得：进一步可得由上式可确定xy平面内每一点的特征线斜率，从而确定特征线。如果令：0A1111222200000abcdabcdAdxdydxdy212211221122221222()()()()()0acacdyadadbcbcdxdybdbddx21221122112221222()(/)()/()0acacdydxadadbcbcdydxbdbd计算流体力学则上式可写成：即：令：，如果在xy平面内某一点有：1），则偏微分方程组(2.21)有两条各不相同特征线，称方程为双曲型；2），则偏微分方程组(2.21)只有一条特征线，称方程为抛物型；3），偏微分方程组(2.21)没有特征线，称方程为椭圆型。双曲型、抛物型和椭圆型实际上是直接借用以下二次曲线性质1221122112221222()()()aacacbadadbcbccbdbd2(/)(/)0adydxbdydxc24/2bbacdydxa24Dbac0D0D0D220axbxycydxeyf计算流体力学2．5．2偏微分方程组分类的通用方法以上根据Gramer法则给出了拟线性方程组类型的确定方法。下面介绍另一种方程组类型通用确定方法。为简单起见，假设方程组(2.21)右端项为0，即：定义矢量：这样式(2.29)可写成矢量形式：(2.30)或者：(2.31)1110uuvvbcdxyxy1a2220uuvvbcdxyxy2a（2.29）uWv111122220acbdWWacbdxy0WWKMxy计算流体力学上式可变成：上式中矩阵的特征值决定偏微分方程组类型。如果特征值全是实数，方程组为双曲型；如果特征值全为复数，方程组为椭圆型。[例]二维无旋、无粘定常可压缩流，流场中有一细长体，如机翼翼型。如果在上游有一小扰动，扰动速度分量为：。根据连续方程、运动方程和能量方程可推得：为自由来流马赫数。确定以上流动的类型。10WWKMxy1NKM,uv2(1)0uvMxy0uvxyM计算流体力学方法一：采用Gramer法则。对照式（2.21）有：而：于是：因此当流动超音时，方程组为双曲型；当流动亚音时，方程组为椭圆型1111uuvvbcdfxyxy1a2222uuvvbcdfxyxy2a211aM2(1)0uvMxy0uvyx10b10c11d20a21b21c20d1221122112221222()()()aacacbadadbcbccbdbd2241/21bbacdydxaM计算流体力学方法二：采用特征值方法以下方程：可写成以下矢量形式：所以：由：2(1)0uvMxy0uvyx2011001001MWWxy21001MK0110M1210110MNKM0NI计算流体力学求出特征值因此采用方法二计算结果与方法一相同。由两个结果比较可看出：上式中的矩阵特征值即为特征线在某一点的斜率。211M计算流体力学2．5．3流体力学控制方程类型及其对流场数值计算的影响根据具体流动特点，采用的流体力学控制方程组可分为:双曲型、抛物型和椭圆型。一、双曲型方程在二维空间坐标(x,y)下有一点P，对于双曲型方程组有二条特征线通过该点，分别称为左特征和右特征。P点的影响区域仅局限于二条特征线之间下游区域，也就是说，P点产生的扰动影响在此区域可感受到，同时也只有此区域可感受到。影响P点区域仅限于二条特征线之间的上游区域，就是说此区域并且也只有此区域的扰动会影响P点。PFrame00103Sep2007NoDataSetP点依赖初始区间P点依赖域左特征P点影响域右特征双曲型方程特征线分析XY计算流体力学对于控制方程为双曲型方程的流动问题可采用空间推进方法进行求解。如上图，可给定y轴上的流动参数作为初始条件，然后沿着x轴方向一步一步推进即可求得整个流场。可推得以下几种流体力学控制方程组属于双曲型控制方程组。超音速翼型绕流例1：定常无粘超音速流超音速气流流过一双圆弧机翼，在翼型前缘产生弓形激波，激波后气流仍为超音速。可以证明这种流动控制方程组为双曲型（流动可近似采用小扰动方程描述）。对于此流动可在翼型上游设初始边界ab，边界上流动参数取自由流参数，沿x方向向下游推进即可求得整个流场。计算流体力学例2：非定常无粘流对于非定常的欧拉方程组，无论流动是否超音都是双曲型（关于时间是双曲型的）。对于一维非定常流，在xt坐标系中，阴影部份为P点的影响区域；P点解由在x轴上（即初始时刻，t=0），区间ab数值确定。管道内一维波运动为曲型的一维非定常无粘流例子。通常在流场数值计算中更多采用非定常方程时间推进求定常解。只要边界条件不随时