计算流体力学第二章 (1)

1第二章有限差分法理论基础★有限差分方法是计算流体力学中应用最多的离散化数值方法；★作为计算技术它是历史最悠久，理论上相对成熟的数值方法。§2.1有限差分离散化方法§2.2差分格式的基本性质、基本定理§2.3差分格式的稳定性分析方法§2.4经典差分格式介绍2l一个定解的流体动力学问题的数学描述；0)()().(],0[),()(ulxoxuTtxuLtu解法:⑴理论（解析）解⑵差分数值解；方程的离散，求解域（时+空）的离散，代数方程的求解。§2.1有限差分离散化方法3（一）.求解域的离散化——差分分割。●分割尺寸（空间网格步长，时间步长）●（网格）结（节）点，（网格）单元●（边界外）虚网格点——网格延拓。1）差商近似；一阶，二阶导数的偏心差，中心差格式一阶微商的定义；xyxuyxxuLimxuxyx),(),(|00000),(00若取消取极限过程，用，代替就是一种差商近似。称为差分格式，xyxuyxxu),(),(0000),(00|yxxu(二）.微商（偏导数）的差商近似42）差分格式的导出方法a).Taylor’s公式；)(!!2),(),(0020220000xxxnxxuxxuxxuyxuyxxunnno..),(),(0000),(00ETxyxuyxxuxuyx..,,1),(ETxuuxujijiji23322!3121)(,xxuxxuxoETT.E.=TruncationError采用差分格式中的记法；其中:)(xo由于T.E.是为一阶小量，故上述差商近似（差分格式）称为一阶（精度）格式5类似地可得；)(,1,xoxuuxujiji)(22,1,1xoxuuxujiji)(222,1,,122xoxuuuxujijiji33xu(后差)（中心差）（二阶导数中心差,等网格步长）6两倍变长中心差算子：njnjxuuE11njnjtnjtuuEuEnjxxnjnjnjxuEEuuu)(21)(2121212121)(212121xxxEEnjxnjnjnjxuEuuu)1(11xxEnjxnjnjnjxuEuuu)1(1111xxEnjxnjnjnjxuEuuu)(2121212121xxxEEnjxxnjnjnjxuEEuuu)(1111xxxEE3．差分算子●定义以下差分算子：移位算子：算术平均算子：前差算子：后差算子：一倍步长中心算子：（当移位为+1时可省略）721EE)(211EE122EE)()(2122121xouuuunjnjnjnjx)1(o)(2121xouuunjnjnjx)(ho讨论：●定义的上述差分算子，可建立彼此间的转换关系，例；●所有的差分算子均可用Taylor展开来估算截断误差项(余项)的量阶8差分算子间的相互关系EE111)1(4121221E11)1(4122211E1)1(1412222121EE21)1(21)1(1)(212121EE)2()1(2121)2()1(21214129由此，再根据差分算子之间的转换关系，可以建立微分算子与其他差分算子的联系xnxxxxenx!!3!2132hnjtDnjtueuEtttDteEttEtDln1*微分算子与差分算子的联系tDtxDx222xDx记微分算子:njtDnjtttnjtnjtnjtnjnjueuDtDttDuDtuDtutDuut)!3!21(!3!2332233221由Taylor公式:EhDln1或以h作为步长xxDxeExxExDln1类似地10差分算子与微分算子间的关系（h为网格步长）D)32(132h)32(132h2D)1211(13322h)1211(13322h3D)4723(15433h)4723(15433h4D)6172(16544h)6172(16544h11差分算子与微分算子间的关系（h为网格步长）D)306(53h2D)90112(16422h3D)12074(7533h4D)24076(18644h12例1：)432(1)1ln(1ln1432xxxxxxxxxExD例2；紧致格式的引入由微分算子与差分算子的关系有：)306(53hD)1(o)(ho)(~55ho)(3hohD)(3hoDh)(11)(1133hohoDh)](1[1])(1[123hoho30653Dh)(653hoDh)(653hoDh)()1.61(53hoDhDh523)](1[161hohoDh54261hohoDh4261hohD13由于算子最多都是只用到三个节点上的函数值，所以是仅用三点构造出了4阶精度格式，而一般地三节点格式的精度只有二阶。故称紧致格式..64222901121hD422221211hohD作业例3；类似由可导出二阶偏导数的紧致格式为：14令22xututttthohD1422221211hohDxnjxxnjttuhuh12111222njnjxxxtnjtusuhhuE121.121122222njxnjxtusuE221211njnjnjusuEuE221121njnjnjnjuuuuE1)1(njxnjnjusuu2212njnjnjnjxnjnjuuuusuu12212)(例4；紧致格式应用：实际计算中分两步：………………………….例4中实际上已经涉及微分方程的差分离散化15（三）偏微分方程的差分离散化－差分方程1.直接用差商逼近代入：微分方程中的所有各阶偏导数分别选择适当的差商逼近,并考虑逼近的截断误差精度,从而将微分方程改写为代数的差分方程;同时得到整个差分方程对微分方程的逼近的精度.16为了确定，可用Tayloy展开,并与L(u)对比,使相应的偏导数项的系数相等;若L(u)为二阶算子,则偏导数有0阶,一阶和二阶三项,可建立三个方程式,正好确定三个系数，而三阶以上的偏导数项则归到误差项中；而如果有三阶（或更高阶的）导数，则三节点格式不够，应增加节点数，才能将待定系数确定。对于,时间项采用而L(u)(二阶偏导数以下)采用三节点格式,即采用即令;auLtutuutunjnj1njnjnjuuu11,,njnjonjnjnjuuutuu1111111o11o2.由微分方程出发直接建立差分方程的几个方法：a)待定系数离散化方法;17n+1nBACPDx-at=constxt但在差分计算中，求解域的离散形成的网格点是A、B、C等,P点可能并不是网格点）b)多项式拟合法例：方程该方程具为特征性质oxuatuD点值按特征关系，应与P点的值相等（PD为特征线，斜率为）a1所以D点的值，也就是P点的值必须由A、B、C等各点的值插值来获得1nju18当时,迎风格式。i)采用A.B两点线性拟合,得到P点（即D点的值）线性插值的值;taxxuuuuABADtaxAPtaPBtaxxuuuunjnjnjnj11xtacnjnjnjcuucu111oxuuatuunjnjnjnj110a记上式为：(FTBS格式)19ii仍然采用线性拟合,但采用A.C两点进行插值taxxuuuuACAD2整理;njnjnjnjnjuucuuu11111221或oxuuatuuunjnjnjnjnj22111111—Lax格式iii.线性拟合，采用B.C两点外插:(思考)20设：过A、B、C三点的值，为二次抛物线A、B、C三点的x坐标可以简单地给为：iv)抛物线拟合，用A.B.C.三点的值进行二次曲线拟合：ivCBAuuu221xaxaaxPoxx,0,221002210axxaauauaxxaauCBA2210222xuuuaxuuauaBCAACB22222taxuuutaxuuuuBCAACBD21整理得；njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjCBAABnjnjuuuxtaxuuatuuuuucuucuuuuxtaxtauuxtauuuuxtaxtauuxtauu11221111121111112222221212121——Lax-Wendroff格式其出发方程可认为：222.2xutaxuatu22l若微分方程中的微分算子可作“和”分裂,即则微分方程的差分方程可由依序离散构成.即分裂式(2)应由(1)式得到的差分解”续接”计算(反之亦可)c)分裂差分算子的离散化方法cuL.21uLuLuLuLtu)1()2(12uLtuuLtu23例:22xuxuatu22xxaL“和“式分裂为)1(0)2(22xuatuxutu可按下列格式计算（例取FTCS格式）step1:njxnjnjnjnjucuucuu12111step2;12111111112njxnjnjnjnjnjusuuusuu其中：2xtsxtac24.1njunjxxnjucsu1121njxxxucssc321)()1(....2323tooxoxtxtascx这种处理的理论依据是:由以上两步,可消去中间步结果即:最后一项容易验证toET.对于时间前差格式：可并入T.E.考虑,而不影响差分的最后精度。证毕。ETcs.3与上述格式与源方程的误差项同阶，25d)积分控制元中的离散化方法对于守恒型(散度型)方程,除了可以在网格点上考虑网格点函数值之间的差商关系（