第二十二章 二次函数复习课

第一课时1.复习二次函数的定义练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。(1)a≠0.(2)最高次数为2.(3)代数式一定是整式2定义要点：1.函数（其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，（1）它是二次函数；（2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；2yaxbxc当时，是二次函数；0a当时，是一次函数；0,0ab当时，是正比例函数；0,0,0abc2.函数当m取何值时，（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？222(2)mymmx（1）若是二次函数，则且∴当时，是二次函数。222m2m220mm（2）若是反比例函数，则且∴当时，是反比例函数。221m1m220mm3.当m=______时,函数y=(m-1)χ-2χ+1是二次函数？mm2例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是________对称轴是_________。（—，-—）12524x=—12画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y轴的交点④确定与x轴的交点⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点⑥连线x=—12（—，-—）12524(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)怎样画二次函数的图象（—，-—）12524x=—12x=—12（—，-—）12524(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)增减性:当时,y随x的增大而减小当时,y随x的增大而增大21x21x最值:当时,y有最值,是21x小425函数值y的正负性:当时,y0当时,y=0当时,y0x-2或x3x=-2或x=3-2x3例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_____对称轴是______。数形结合研究图象性质2.复习二次函数的图象及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0xy0abacab44,22abacab44,22(0,c)(0,c)2、二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-12)1(2xyDA1、抛物线的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y轴，（０，-4）B、x＝３，（０，４）C、x轴，（０，０）D、y轴，（０，３）342xy例1.函数的开口方向________，顶点是_______________,对称轴是__________,当x时,y随x的增大而减小。当x时,y有最为.32212xxy向上1(1,)61x直线＜－１＝－１小1661)1(212xy顶点式为数形结合研究图象性质巩固练习:1、填空：（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。（—，-—）12524x=—12(2)二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：__________，对称轴为_____，顶点为______12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)(3)已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。120巩固练习:1、填空：（4）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（5）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（6）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（0，0）（2，0）x12(7)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.162.选择(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.A直线x=1B直线x=-1C直线x=2D直线x=-2(2)抛物线y=3x2-1的________________A开口向上,有最高点B开口向上,有最低点C开口向下,有最高点D开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是_______A直线x=2B直线x=4C直线x=3D直线x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是_______A直线x=3B直线x=4C直线x=-3D直线x=2cBCA巩固练习:例2.已知抛物线y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m______.=1＞1=2=0数形结合研究图象性质例3.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是_____________a0,b²-4ac0例4、求抛物线①与y轴的交点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③x取何值时，y＞0?2218yx-316(-1,8)-1数形结合研究图象性质例5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.小结:一般地,抛物线y=ax2与y=±a(x-h)2+k形状相同,位置不同。数形结合研究图象性质教材P101页牛刀小试第1、2、3题课后作业教材P100页实战运用第1题第二课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥03.二次函数与一元二次方程的关系判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根xyO与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0xyO与x轴有唯一个交点)0,2(ab有两个相等的解x1=x2=ab2b2-4ac=0xyO与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC例(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有_____个交点.11(2)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿_______＿＿＿.（-2、0）（5/3、0）应用新知(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)小结（2）抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2韦达定理:X1+X2=-b/aX1X2=c/a2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)4.求抛物线解析式的三种方法一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？oxy例题精讲4.求抛物线解析式的三种方法例题精讲解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3由条件得：例2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？yox点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k4.求抛物线解析式的三种方法解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：例3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k例题精讲4.求抛物线解析式的三种方法练习1根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。1、选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。22yxx2211(6)261622yxxx能力训练（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。xxy842课堂小结求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴和最值，通常选择顶点式已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择两根式确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，教材P101页牛刀小试第4题课后作业教材P100页实战运用第3题教材P116页第16题1、一个二次函数，当自变量x=-3时，函数值y=2；当自变量x=-1时，函数值y=-1；当自变量x=1时，函数值y=3，求这个二次函数的解析式？2、已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是、，与Y轴交点的纵坐标是-3，求这个抛物线的解析式？2123教材P114页牛刀小试第2、4、5题第三课时5.a，b，c，△符号的确定aa,bc△a决定开口方向：a＞０时开口向上，a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴c＝０时抛物