第四章包装动力学冲击理论1

第四章第四章包装动力学的冲击理论包装动力学的冲击理论第一节第一节线性包装件的跌落冲击线性包装件的跌落冲击一、牛顿碰撞理论概述一、牛顿碰撞理论概述二、无阻尼包装件的跌落冲击二、无阻尼包装件的跌落冲击三、有阻尼包装件的跌落冲击三、有阻尼包装件的跌落冲击一、牛顿碰撞理论概述•冲击：是一种机械运动，是在短暂而强烈的动态力作用下，速度或能量在极短的时间内产生突然的变化。根据牛顿第二定律：F=ma可知冲击的特点：冲击力的作用时间极短；冲击力极大；产生极大的冲击加速度。•包装件在流通过程中主要受到的冲击为垂直冲击（跌落冲击）和水平碰撞冲击。在这些冲击环境中，跌落冲击最为强烈，因此我们研究的冲击理论主要是针对跌落冲击的。一、牛顿碰撞理论概述包装物增加缓冲垫，就是为了增加时间来减小冲击力，从而达到保护产品的目的。因此，在分析包装件的跌落冲击的过程中，冲击持续时间和产品所产生的响应加速度是包装动力学冲击理论中的两个重要参数。一、牛顿碰撞理论概述设包装件从高度H处自由下落，不计各种阻力，所以包装件落地时的速度为式中的负号表示速度方向向下。02vgH(a)开始下落时(b)落地前瞬间(c)衬垫被压缩变形(d)衬垫变形恢复一、牛顿碰撞理论概述▲变形阶段：产品的动能从最大减小到零，缓冲衬垫的变形从零增加到最大。以P1表示此阶段的冲量，得图(b)落地前一瞬间图(c)衬垫被压缩变形图(d)衬垫变形恢复100Pmv▲恢复阶段：缓冲衬垫的弹性逐渐恢复，产品动能从零逐渐增大。以P2表示此阶段的冲量，得20Pmv所以2100mvvPPmvv式中：v0——产品受冲击的初速度vτ——产品受冲击的末速度一、牛顿碰撞理论概述设e，令2100mvvPePmvv因为包装件发生碰撞时产生变形消耗了一部分能量，所以末速度vτ小于初速度v0。因为得02vgH12vgH11022gHvHevHgHe被称为碰撞恢复系数，它表示系统受冲击后的恢复程度。图(d)衬垫恢复变形图(e)再度跳起一、牛顿碰撞理论概述根据e值的大小，冲击分为三类：•弹性冲击：0＜e＜1，物体受冲击后会有残余变形，动能有损失；•完全冲击：e=1，这是一种理想情况，物体受到冲击后变形完全恢复，动能无损失；•塑性冲击：e=0，这是一种极限情况，冲击结束时，物体变形丝毫没有恢复，全部动能损失。一般包装件的冲击恢复系数为0.3＜e＜0.5因为包装件中的缓冲衬垫的内阻和塑性变形都要消耗一定的能量。一、牛顿碰撞理论概述▲速度改变量：产品速度在跌落冲击过程中的变化。因为00vevevv所以0002212vvvevvegHgHegH因为0＜e＜1，所以因此速度增量为222gHvgH00vvvdvadt一、牛顿碰撞理论概述设包装件从高度H处跌落，落地后地板通过缓冲衬垫冲击产品，产品又将冲击传递给易损部件，从而产生极大的加速度。分析包装件跌落冲击可以用前面分析振动理论相同的方法，因为振动与冲击的性质是一样的，都是外部对包装件的激励，只不过振动是一个周期性的激励，而冲击则是一个瞬时激励。一、牛顿碰撞理论概述•一般包装件的各种参数是通过实验室获得的，冲击理论的主要作用就是为测试技术提供理论依据。而缓冲包装设计就是以跌落冲击理论为基础。•由于易损部件的质量和尺寸都很小，而且大部分都封闭在产品内部，很难测出其响应加速度，因此常用产品响应加速度来描述易损部件的破损条件。图1无阻尼跌落冲击力学模型图2有阻尼跌落冲击力学模型二、无阻尼包装件的跌落冲击•运动方程及位移方程设产品所受的力有冲击时衬垫的弹性力P和重力W，以包装件落地后的平衡位置为原点向上取x轴。根据牛顿第二定律，产品的运动微分方程为stPkxWmgstmxPWkxmg所以，弹性力重力因为stmgk2km所以，运动微分方程为20xx二、无阻尼包装件的跌落冲击产品落地前一瞬间的初始条件为2singHxt代入运动方程中求得位移方程为用τ表示跌落冲击过程的持续时间。当跌落冲击过程结束时，缓冲衬垫的弹性变形完全恢复。因此将此条件代入位移方程，得2sin0gH得0002xxgH0xtgHxsin2二、无阻尼包装件的跌落冲击设T为产品的固有周期，fm为产品的固有频率，而冲击持续时间为半个正弦波，所以122mTf上式表明：跌落冲击过程中的持续时间与产品的固有频率成反比，固有频率越大，冲击持续时间越短。令代入位移方程中求出产品在跌落冲击过程中的最大位移为22t上式表明：衬垫的最大变形取决于跌落高度和产品的固有频率，跌落高度越高，产品固有频率越低，衬垫的变形也就越大；产品越重，衬垫越软，衬垫的变形就越大。HkmgHgHxstm222二、无阻尼包装件的跌落冲击2.产品的速度和加速度—时间函数将对时间求一次导数，就得到产品速度随时间变化的规律：2singHxt2cosxgHt（0≤t≤τ）将上式再次求导，就得到产品在跌落过程中的加速度—时间函数：2sinxgHt（0≤t≤τ）同样令以求出产品在跌落冲击过程中的最大加速度：2mxgH上式表明：产品跌落高度越高，产品的冲击加速度也越大。在跌落高度确定后，降低包装件的固有频率是减小产品冲击加速度的主要方法。2t二、无阻尼包装件的跌落冲击在跌落冲击过程中，衬垫对产品的最大冲击力可表示为：上式两边除以mg，得mmPmx22mmmgHPxkHGmgggmg在这里我们引入了一个无量纲Gm，它也是产品的最大响应加速度。将代入加速度—时间函数中，就可改写为：2mxgHsinmxtxt上式为正弦半波方程，波形为脉冲波形，为脉冲峰值，τ为脉冲持续时间。三者称为脉冲三要素。（0≤t≤τ）mx0xt（t＞τ）二、无阻尼包装件的跌落冲击tgHtxsin2tgHtxsin2加速度—时间函数为：（0≤t≤τ）0xt（t＞τ）位移—时间函数为：（0≤t≤τ）0tx（t＞τ）二、无阻尼包装件的跌落冲击例：产品质量m=10kg，衬垫面积A=120cm2，衬垫厚度h=3.6cm，缓冲材料的弹性模量E=0.7MPa，包装件的跌落高度H=0.75m。不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间。153/kEAradsmmh产品的冲击持续时间为：0.02s衬垫的最大变形为：22.51mgHxcm产品的最大加速度为：22587/mxgHms60mmxGg解：产品衬垫系统的固有频率为：二、无阻尼包装件的跌落冲击３．用能量法求跌落冲击的最大加速度(a)开始下落时(b)落地前瞬间(c)衬垫被压缩变形当包装件开始下落时，具有一定的势能mgH；当包装件落地前瞬间时，势能全部转化成动能，根据能量守恒定理2012mv2012mvmgH解方程得02vgH当缓冲衬垫产生最大变形量时xm，动能全部转化成弹性势能2201122mmvkx解方程得2mmgHxk二、无阻尼包装件的跌落冲击根据胡克定律，此时缓冲衬垫有最大的变形，对产品的反力也最大。设为Pmax则max2mPkxkmgH根据牛顿第二定律，此时加速度也最大，为maxmax2mmPkgHPmaamm我们定义的Gm为最大加速度与重力加速度g的比值以上两种方法求出的最大位移和最大加速度完全一致。mxmxgHmgkHmgkmgHmgpgagxGmmm222max二、无阻尼包装件的跌落冲击例：一个质量为40kg的物品从100cm高处跌落。问选用弹性系数k为多大的缓冲材料，才能使之跌落时冲击加速度不超过60g。并估计缓冲垫的最小厚度。解：已知Gm=60，H=1m，W=mg=392N因为所以2mkHGmg2705600/2mmgGkNmH最大压缩量为20.0333mmgHxmk即缓冲垫最大的变形为3.33cm。而材料的厚度至少要比变形量大二倍，所以缓冲垫厚度不能小于6.66cm。三、有阻尼包装件的跌落冲击•运动方程及位移方程在系统受到冲击的任一瞬时，产品所受到的弹性冲击力为stPkx产品所受的阻尼力为根据牛顿第二定律，产品的运动微分方程为RcxmxmgPRkxcx令km2cnm得220xnxx与振动理论相似，在n＜ω的情况下，产品的位移方程为22sinntxAent三、有阻尼包装件的跌落冲击冲击的初始条件为设n2222121gHgHAn2212sin11tgHxet0002xxgH用τ表示跌落冲击过程的持续时间代入位移方程得推导出所以产品冲击时间为0x2sin102121求得所以产品的位移方程可改写为0三、有阻尼包装件的跌落冲击2.产品的速度和加速度—时间函数将位移方程对时间求一次导数，得产品的速度—时间函数为222221cos1sin11tgHxett当时，位移达到最大值，用tm表示x=xm的瞬时，由速度—时间函数求得0x221tan1mt因为22sin11mt将上式代入位移方程，得产品的最大位移为221arctan12mgHxe由此可见，冲击时的最大位移随阻尼比的增加而减小，冲击持续时间随阻尼比的增加而延长。三、有阻尼包装件的跌落冲击将位移方程对时间求二次导数，得产品的加速度—时间函数为22222212sin121cos11tgHxett为简化，令22cos12sin21得222sin11tgHxet2221tan12为求最大加速度值，令mx0dxdt得到2221cos1sin10tt2sin1cos令因此2sin10t三、有阻尼包装件的跌落冲击将tm代入加速度—时间函数中，得210t所以取最大值的瞬时为x21mt212mxgHe上式中要求，由此得当时，会出现在产品落地的瞬时，故令t=0，代入得产品最大加速度为00.50.5mx222sin11tgHxet22mxgH三、有阻尼包装件的跌落冲击H22mxgH由上式可得知：当ζ≤0.5时，减小，当ζ≥0.5时，增加而且当ζ=0.2～0.3时，缓冲效果最好通过上述分析，可以看出影响产品最大加速度的三个因素为：①与成正比，因此包装件的跌落高度越大，产品的最大加速度也越大。②与ω成正比，因此产品衬垫系统的固有频率越大，或者说缓冲衬垫的弹性系数越大，产品的最大加速度也越大。③当时，阻尼有缓冲作用，而当，阻尼反而会增加产品的最大加速度。mxmxmxmx0.50.5212mxgHe例：产品衬垫系统的固有频率ω=153rad/s，阻尼比，包装件的跌落高度为H=75cm，试求产品最大加速度。如果将产品衬垫系统的阻尼比由0.25增加到0.75，试问产品的最大加速度会增加多少？解：①故而且故所以产品最大加速度为②若将阻尼比由0.25增加到0.75，则产品的最大加速度为因此，阻尼比为0.75时的产品最大加速度是阻尼比为0.25时的1.84倍。三、有阻尼包装件的跌落冲击0.2522cos12120.250.875