第十章 应力状态分析和强度理论

第十章应力状态分析和强度理论下一页第十章应力状态分析和强度理论第一节点的应力状态第二节平面应力状态分析——解析法第三节平面应力状态分析——图解法第四节平面应力状态下的应力——应变关系第五节强度理论及其应用下一页上一页从实验得知：①碳钢试样拉伸至屈服时，出现与轴线约成45°的滑移线，铸铁拉伸时沿试样的横截面断裂。②低碳钢扭转时沿横截面破坏；铸铁扭转时沿与轴线约成45°的螺旋面断裂。要解释这些破坏现象，不仅要知道通过一点的横截面上的应力，而且还要知道通过一点的各斜截面上的应力情况。1.点的应力状态：通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况。2.研究目的：找出该点最大应力及其所在截面的方位，为分析构件的破坏原因和建立复杂应力状态下的强度条件提供依据。下一页上一页第一节点的应力状态二、研究一点应力状态的方法为研究受力构件内一点的应力状态，可围绕该点切出一个微小正六面体，称为单元体。单元体具备下列特点和要求：①单元体各侧面上的应力均为已知。②单元体各边尺寸极小。因此，认为各侧面上的应力均匀分布，相对侧面上的应力相等。下一页上一页例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。FFAAsxsxMFxyzCtzxsxsxBtxzCtxytyx下一页上一页三、主平面和主应力①主平面：单元体上切应力为零的截面。②主应力：作用于主平面上的正应力。③主单元体：由主平面组成的单元体。④主应力排序规定：按代数值大小，σ1≥σ2≥σ3σ1σ2σ3σyσxtxy下一页上一页四、应力状态的分类①单向应力状态一个主应力不为零的应力状态。②二向应力状态（平面应力状态）一个应力为零的应力状态。③三向应力状态（空间应力状态）三个主应力都不为零的应力状态。σ1σ2σ3下一页上一页xysxtxysyOsxtxysyxyz等价下一页上一页第二节平面状态应力分析——解析法一、任意斜截面上的应力规定：①σα截面外法线同向为正②τα绕研究对象顺时针转为正③α逆时针为正设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：sytxysxsataaxyOtnxysxtxysyO下一页上一页0cossinsinsincoscos22=++-aasataasataAyAxyAxAdddd,02=Faaaaaaa2sincossin2,22cos1sin,22cos1cos22=-=+=因所以三角变换得：atasssssa2sin2cos22xyyxyx--++=atassta2cos2sin2xyyx+-=下一页上一页sytxysxsataaxyOtn例1已知拉杆横截面积为A，所受拉力为F，求任意斜截面上的应力，并说明最大应力和最大切应力分别发生在哪个方向面上。xnσσαα解：0,0,===xyyxtsssatasssssa2sin2cos22xyyxyx--++=()asas2cos2cos12=+=asatassta2sin22cos2sin2=+-=xyyxAFAF22,45,0maxmax======stassa时当时当o下一页上一页例2已知作用在圆轴上的力偶为M，轴的直径为d，试分析表面各点任意方向面上的正应力和切应力，并确定应力和切应力所在的截面。铸铁圆轴扭转破坏时沿45°螺旋面断开，是由于这个面上拉应力最大。xCttss===xyyx,0解：atasssss2sin2cos22xyyxyxx--++=at2sin-=atatassta2cos2cos2sin2=+-=xyyxtsatta=-===maxmax450时，当时，当o下一页上一页例3应力单位为MPa，求与水平面夹角为30°的方向面上的正应力和切应力。解：o60201030=-==-=atssxyyx(MPa)(MPa)(MPa)()()()oo120sin20120cos2103021030----++-=as3.17=(MPa)()()oo120cos20120sin21030-+--=at32.7-=(MPa)下一页上一页方程消去参数（2α），得：此方程曲线为圆——应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）圆心坐标（）0,2yxdd+下一页上一页第三节平面应力状态分析——图解法+-=--++=atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsssaa+-=+」+-半径为222xyyxtdd+-二、应力圆的画法①以σα为横轴，τα为纵轴建立τα——σα坐标系。②选取合适的比例尺，按比例画出点A（σxτxy）和点B（σy-τxy）③连接AB与轴交点C即为圆心。④以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆。σxτxyyσyτασαCA(σx,τxy)B(σyτxy)下一页上一页三、单元体与应力圆的关系①α面上的应力（σα，τα）应力圆上一点（σα，τα）③两面夹角α两半径夹角2α；且转向一致。2p②x、y平面夹角应力圆A、B夹角πtxysynsataaysxxA(sx,txy)B(sy,tyx)Cx2anOsataD(sa,ta)下一页上一页例4①画出对应与应力状态的应力图②由应力圆求D截面上的应力和切应力解：①画应力圆②由应力圆求D截面上的正应力和切应力按选定的比例尺，从图上量得D点坐标分别为σα=52MPa,τα=-19MPaτασαCA(30,-20)B(50,20)D(52,-19)60°下一页上一页四、在应力圆确定极值应力的大小和主平面的方位因α0是按顺时针转向量取得，根据角的符号规定，此角应为负值，故()22tan0yxxyCHAHssta-==-maxtOCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a1mint2a0s1s2s3即yxxyssta--=22tan0下一页上一页σ1σ2=2222xyyxyxtssss+-±+τmaxτminxyyxtssss+」-±=-±=2minmax22五、三向应力分析①弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区的一点。②整个单元体内的最大剪应力：231maxsst-=s2s1xyzs3图a1s2s3sasattmax图b下一页上一页例5已知：d=20mm，T=0.1kN·m。用图解法求表面上k点的主应力和τmax值，并画出该点的主单元体。解：①计算k点切应力②在k点取出单元体③作应力圆④画主单元体kTTσ3σ1τασαABCttss===xyyx,0MPa6.63,0,MPa6.63321-=-====tsstsxτykkσ1σ3下一页上一页(MPa)6.6320101.01616363=×××==pptdTWTP三向应力状态看作是三个单向应力状态叠加而成。EEEsmmeesees-=-==='或=++下一页上一页第四节平面应力状态下的应力——应变关系（广义虎克定律）广义虎克定律:在σ1单独作用下，单元体沿σ1方向的线应变为在σ2和σ3单独作用下，单元体沿σ1方向的线应变为所以，在三个主应力作用下，单元体沿σ1方向的线应变为E1'1se=E21sme-=E3'1sme-=()321'11'111ssmseeee+-=++=E下一页上一页同理可得单元体沿σ2和σ3方向的线应变和。于是有对平面应力状态（设σ3=0）()()()21312221111ssmemssemsse+-=-=-=EEE广义虎克定律()()()213313223211111ssmsessmsessmse+-=+-=+-=EEE下一页上一页若单元体不是主单元体，线弹性小变形的各向同性材料，线应变只与正应力有关，故平面应力状态下应力——应变关系可以写成()()xyyyxxEEmssemsse-=-=11下一页上一页例6已知：d=20mm，E=200GPa，μ=0.3，ε45°=5.2×10-4求外力偶矩M。解；①在k点取出单元体并画应力圆②根据广义虎克定律求τσ45°=σ1=τσ-45°=σ3=-τ()()tmtmtmsseEEE+=--=-=-111454545ooo80145=+=\oemtE(MPa)kMM45°kσ1σ3σ3σ1τασαBA下一页上一页③求外力偶矩（N·m）7.12516803=´=×=dWMppt一、材料的失效形式：①屈服；②断裂。对于同种失效形式有可能在引起失效的原因中包含着共同的因素。所谓“强度理论”就是关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假设。根据这些假设，就有可以利用单向拉伸的实验结果，推知材料在复杂应力状态下，何时发生失效，从而建立起相应的强度计算依据，即强度条件。下一页上一页第五节强度理论及其应用认为构件的断裂是由最大拉应力引起的，当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，工件发生脆性断裂。③实用范围：实用破坏形式为脆性的构件。①破坏叛据：()0;11=sssb②强度准则：nbssss=;1下一页上一页2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的，当最大伸长线应变达到单向拉伸实验下的极限应变时，构件就发生断裂。③实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。()0;11=eeeb()EEbsssmse=+-=32111①破坏叛据：()bsssms=+-321②强度推测：()sssms+-321下一页上一页3.最大切应力理论（第三强度理论）认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸实验的极限切应力时，构件就发生破坏。③实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。①破坏叛据：ssss=-31②强度推测：sss-31stt=maxtssst==-=2231maxs下一页上一页4.形状改变比能理论（第四强度理论）③实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。xsxuu=max()()()21323222161ssssssm-+-+-+=Eux认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸实验屈服时形状改变比能时，构件就发生破坏。①破坏叛据：()()()ssssssss=-+-+-21323222121②强度推测：()()()ssssssss-+-+-21323222121下一页上一页三、强度理论的应用1.相当应力：工程上为了计算方便，常常将各个强度理论中直接与许用应力比较的量称为相当应力或计算应力，用σxd1，σxd2，σxd3和σxd4表示，即()()()()213232221431332121121ssssssssssssmssss-+-+-=-=+-==xdxdxdxd下一页上一页2.弯曲与扭转的组合变形(1)一个平面内的弯曲与扭转的组合变形由k1点应力状态，得：ZWM=sPWT=tFABT=FaPlFaAk1k2στ下一页上一页k1点主应力对于圆截面Wp=2Wz2231TMWzxd+=sssstss++=22422475.013TMWzxdxd同理：σ3τασαA(σ,-τ)B(0,τ)Cσ1στk1下一页上一页223313222214022tssssssstssss+=-==+÷±=xdxd例7已知：P=9kW,n=715r/min,［σ］=60MPa试按最大切应力理论校核轴的强度。解：①计算外力偶矩②求带的张力N96120==DMF③作内力图④校核强度2231TMWzxd+=s所以此轴满足强度要求1203FM0+Tx120.2N·mxM－346N·m250120AB111-1402FF下一页上一页mN2.12095500×==nPMsp=×+××=MPa3.58)102.120()10346(403223233(2)两个相互垂直平面弯曲与扭转的组合变形合成弯矩：强度条件：2maxmaxDFMMTlabFMlabFMtCAtyz=====t2max2maxyznMMM+=22tFFlab+=tss+=2231TMWnzxdss+=22475.01TMWnzxd下一页上一页例8已知：［σ］=160MPa，按第四强度理论