全等三角形.第4讲.全等三角形及旋转问题.教师版

WORD完美格式专业知识编辑整理板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．知识点睛中考要求第四讲全等三角形与旋转问题WORD完美格式专业知识编辑整理很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲WORD完美格式专业知识编辑整理【解析】A【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()．A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到GFEDCBA【解析】D【例3】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．MDNECBFA【解析】∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．WORD完美格式专业知识编辑整理【例4】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有()．A．1对B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA【解析】C【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．MDNECBFAGMHDNECBFA【解析】过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得到CGCH，故CF平分AFB．【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．请你证明：⑴ANBM；⑵DEAB∥；⑶CF平分AFB．MDNECBFAWORD完美格式专业知识编辑整理【解析】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：AFCBFC；ANBM，CDCE，ADME，NDBE；AMCN∥，CMBN∥；DEAB∥ACNMCB≌，ADCMCE≌，NDCBEC≌；DEC为等边三角形．⑴∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM⑵由ACNMCB≌易推得NDCBEC≌，所以CDCE，又60MCN，进而可得DEC为等边三角形．易得DEAB∥．⑶过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACNMCB≌，利用AAS进而再证BCHNCD≌，可得AFCBFC，故CF平分AFB．【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于M，N点．求证：CMCN．NMEDCBA【解析】∵ABC与DCE都是等边三角形∴BCAC，CDCE及60ACBDCE∵B，C，E三点共线∴180BCDDCE，180BCAACE∴120BCDACE在BCD与ACE中WORD完美格式专业知识编辑整理BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴CANCBM∵120BCDACE，60BCMNCE∴60ACD在BCM与ACN中60BCACBCMACNCBMCAN∴BCMACN≌，∴CMCN．【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．GFEDCBA【解析】∵ADCEDG∴CDGADE在CDG和ADE中CDADCDGADEDGDE∴CDGADE≌∴AECG【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(120ACE°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是()WORD完美格式专业知识编辑整理PMBCDEAA．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【解析】易得ACDBCE≌．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，60PCM°，故CPM是等边三角形，选C．【例7】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．DECBA【解析】∵ABC是等边三角形，∴60ACB，ACBC．∴60BCDDCA，同理60ACEDCA，DCEC．∴BCDACE在BCD与ACE中，BCACBCDACEDCEC∴BCDACE≌，∴BDAE．【例8】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．WORD完美格式专业知识编辑整理MDNECBA【解析】∵ACNMCB≌，∴ANBM，ABMANC又∵D、E分别是AN、BM的中点，∴BCENCD≌，∴CECD，BCENCD∴60DCENCDNCEBCENCENCB∴CDE是等边三角形【例9】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDCBAABCDP【解析】连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACDBCD≌(SSS)，得1302BCDACDACB，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知BDPBDC≌(SAS)，∴30BPDBCD．故BPD的度数是定值．【例10】(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．OBECFA4321OBECFAWORD完美格式专业知识编辑整理【解析】连结OB由上可知，1290∠，2390∠，13，而445C∠，OBOC．∴OBEOCF≌，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．54321OHBEDKGCFA【解析】正方形ABCD中，1245∠，OAOB而3490∠，4590∠∴35∠∠，∴AOEBOF≌∴AEBF，∴AEFCBFFCBCAB【例11】(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF．求证：DEBF．FEDCBA【解析】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，90BADADEABF．因为EAAF，所以90BAFBAEBAEDAE，所以BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．【补充】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于WORD完美格式专业知识编辑整理P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．PDCBAABCDEP【解析】如图，过点D作DEDP，延长BC交DE于点E，容易证得ADPCDE≌(实际上就是把ADP逆时针旋转90，得到正方形DPBE)∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴4DP．【例12】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而变化MNCBAMDNCBA【解析】如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN∠∠，∴MCDACMACD∠∠∠ACMBCN∠904545MCN．∴MDCMNC≌，∴MDMNx又易得454590DAM，∴在RtAMD中，有222mnx，故应选(B)【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．⑴求证：AFDFBE．⑵设DFx(01x≤≤)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存WORD完美格式专业知识编辑整理在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．FEDCBAGABCDEF【解析】⑴证明：如图，延长CB至点G，使得BGDF，连结AG．因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，ADAB，90ADFABG°，DFBG．∴RtRt(SAS)ADFABG≌，∴AFAG，DAFBAG．又∵AE是BAF的平分线．∴EAFBAE，∴DAFEAFBAGBAE．即EADGAE．∵ADBC∥，∴GEAEAD，∴GEAGAE，∴AGGE．即AGBGBE．∴AFBGBE，得证．⑵ADFABESSS1122DFADBEAB．∵1ADAB，∴12SDFBE由⑴知，AFDFBE，所以12SAF．在RtADF中，1AD，DFx，∴21AFx，∴2112Sx．由上式可知，当2x达到最大值时，S最大．而01x≤≤，所以，当1x时，S最大值为2111222x．【例13】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，WORD完美格式专业知识编辑整理H为垂足，求证：AHAB．CHFEDBACHFEGDBA【解析】延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证ABGADF△≌△，BAGDAF∠∠，AGAF．再证AEGAEF△≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．【例14】(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关