chapter1.3 量子力学基本原理的简单应用

§1.3量子力学的应用-势箱中粒子的处理量子力学方法处理问题的思路物理模型的建立和理解§1.3.1一维势箱中的粒子1.一维势箱模型V＝00＜x＜l（Ⅱ区）V＝∞x≤0，x≥l（Ⅰ、Ⅲ区，＝0）2.一维势箱中粒子的量子化学处理①Schrödinger方程Ĥ(x)=E(x)(0＜x＜l);(x)=0(x≤0,x≥l)2222ˆxmH②Schroedinger方程的求解1：),(2sin2cos),(sincos02022222222222为常数：所以薛定谔方程的解为为常数式为：微分方程，其通解的形该方程称为二阶常系数则方程变为：令：BAxmEBxmEABAxBxAmEmEdxdExm)1,2,3n(sin)(8n,222202sin02sin)(2sin)(0;000cos0sin0cos)0(0)(;0)0(22201)0cos(lxnBxmlhnEEmlnhlnmElnmEnlmElmElmEBlxmEBxBAABAlnB；必须取大于零的正整数以必须为非零的实数，所因为所以：续）：函数的要求：单值、连根据边界条件（合格波2：3.ll220022ln2222002n222200()*()sin1sinsinsinsin11sinsin22411sin(sin2)(242nnxxxdxBdxlnxylnxdynlydxdyldxlnnxlBdxBydylnxdxxxlllnBydyByyBnnn归一化系数（合格波函数平方可积要求）令：，则：；不定积分公式：20)122lBBl4.一维势箱Schrödinger方程的解)1,2,3n0(8sin2)(222；；lxmlhnExlnlxnn③解的讨论1.解得图形表示22412231222122118164sin2)(4893sin2)(3842sin2)(28sin2)(1mlhExllxnmlhExllxnmlhExllxnmlhExllxn；；；；；；；；2.受一定势能场束缚的粒子的共同特征a粒子可以存在多种运动状态（1,2…n，它们构成正交完备集）；b能量量子化；c存在零点能；d没有经典运动轨道（函数的正负表明波性），只有几率分布；e存在节点，节点越多(波长越短，频率越高)，能量越高；flEn，离域效应；m，l△En，能量变为连续，量子效应消失；④力学量的求得aEnĤn=Ennb粒子在箱中的平均位置：x=x,xn≠cn,所以x没有确定值，只能求其平均值：22sin22cos221sin1cos1cos22cos12sin2sin2sin2022202000*0*0*llxnxnllxnnlxlxnuunnunnuduudxx/lnxldxlxnxlxdxlxnlxlxnldxxdxdxxxllllnlnnlnnln）（cPˆPˆnnxx也无本征值，即可以验证，dxPPnxnxˆ0*ldxxndxdxnlihlllsin2sin20lllihlxndxnsinsin002)/(sin02lllihxxxnd粒子的动量平方px2值llxndxdhpnxsin24ˆ22222lllxnndxdhcos2422lllxnnhsin24222nhn2224l222282lmhnmPExnc粒子动量的x轴分量px3.应用①丁二烯的离域效应：势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。E1=h28ml2E离1=h28m(3l)2=E1/9E离2=4h28m(3l)2=4E1/9E定=4E1E离=2E离1+2E离2=(10/9)E1CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键离域键44lll3l②花菁染料的吸收光谱[R2N¨－(CH＝CH－)nCH＝N+R2]n计算实验1311.6309.02412.8409.03514.0511.0说明此体系可近似看做一维势箱。势箱总长l＝248n+565pm，共有2n＋2＋2个电子；基态时需占n+2个分子轨道，En+2En+3时，=△E/h=(h/8ml2)[(n+3)2-(n+2)2]=(h/8ml2)(2n+5),由=c/，=8ml2c/(2n+5)h例题若某电子的运动可以按一维势箱模型处理，其势箱长度为1Å，计算该电子由基态到第二激发态的跃迁波数。vhcmlhEEE~8)13(222213cmlhcmlhhcEv2288~§1.3.2三维势箱中的粒子1.三维势箱模型V＝00＜x＜a,0yb,0zcV＝∞otherwise222222ˆmVmH2.三维势箱中粒子的量子化学处理①Schrödinger方程Ĥ(x,y,z)=E(x,y,z)(0＜x＜a,0yb,0zc);(x,y,z)=0(otherwise)②Schrödinger方程的求解2222222()2Emxyz=XYZE=Ex+Ey+Ez222222222222xyzXEXmxYEYmyZEZmz)1,2,30(8sin2)()1,2,30(8sin2)()1,2,30(8sin2)(222222222zznzznzyynyynyxxnxxnxnczmchnEzcnczZnbymbhnEybnbyYnaxmahnExanaxX；；；；；；)1,2,3,,；0,0,0()(8；sinsinsin8),,(2222222,,,,zyxzyxnznynzzyxnznynznnnczbyaxcnbnanmhEcznbynaxnabczyx=XYZE=Ex+Ey+Ez3.立方势箱)1,2,3,,,,0()(8sinsinsin8),,(22222,,3,,zyxzyxnznynzzyxnznynznnnazyxnnnmahEaznaynaxnazyxcba；；若：基态：ψ1,1,1=…..E1,1,1=3h2/(8ma2)简并能级：有多个状态具有相同能量的能级；简并态：简并能级对应的状态简并度：简并态的个数222222211232112222222121312122222221123112861128...........1sinsin2sin8861218...........sin2sinsin8862118...........2sinsinsin8mahmahEazayaxamahmahEazayaxamahmahEazayaxa第一激发态：ψ2,1,1，ψ1,2,1，ψ1,1,2；E2,1,1=E1,2,1=E1,1,2=6h2/(8ma2)例题：;812)22mahEa22811)mahEb1）若立方势箱中运动的粒子的能量为下列值，求其简并度为多少？2）求立方势箱中运动的粒子的能量符合下列条件的所有状态？22811mahE量子力学理论处理问题的思路：①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n③描绘n，n*n等图形，讨论其分布特点；④用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤联系实际问题，应用所得结果。量子效应微观粒子没有经典轨道，其可能的运动状态可以用波函数描述；由波函数可求得体系力学量的本征值或平均值，由此理解波函数代表运动状态的具体含义；波函数存在节点，节点数越多，能量越高；能量量子化，并且存在零点能。