2012-5-8-6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理定理6.3.1设X是一个拓扑空间，是一个闭区间，则X是一个正规空间当且仅当对于X中的任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射使得当时和当时[,]ab:[,]fXabxAxB()fxa()fxb证明:充分性由于,因此我们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可.必要性设X是一个正规空间，A和B是X的两个无交的闭集,.不妨设r(1)=1和r(2)=0[,][0,1]ab见下图[0,1]IQQ{(1),(2),(3)}IQrrr继续AB01f)[](1323f-1f-1UVX=UV下面我们要做的工作是对每一个有理数r(n)∈QI,对应着A的一个开邻域Ur(n),使得满足条件：(1);(2)若,则.接下来我就用归纳的方法定义A的这些开邻域：(1)rUB()()rnrm()()rnrmUU见下图ABUr(1)Ur(3)Ur(n-1)Ur(2)sUbU()rnUUsUbUr(n)继续令max{(}|()(),1,,1}sririrninmax{(}|()(),1,,1}bririrnin(1)rUB(2)(1)rrUU取，,满足，则满足(1)和(2),设对于n2,A的开邻域已经定义.(2)rU(1)(2),rrUU(1)(1),,rrnUU见图由定理6.2.2，选取Ur(n)为的一个开邻域使得，从Ur(n)的取法可知A的诸开邻域仍然满足条件(1)和(2).根据归纳原则，A的诸开邻域已经全部定义，且满足条件(1)和(2).()rnbUUsU见图定义映射：使得对任意,:[0,1]fXxXinf{|}()rrrQxUxBfxxB如果1如果显然如果,则，所以f(x)=0；若，则f(x)=1.xA(2)rxUxB下面证明f的连续性，我们知道：是实数空间R的一个子基，从而[0,1]的一个子基为则事实上还是[0,1]的一个子基.{(,)|}{,)|}aaRbbRS=1[0,1]SS|1{(,1]|[0,1)}{[0,)|(0,1]}{,[0,1]}aabbS1{,[0,1]}SS因此我们只需证明的每一个元素在f下的原象是开集就可以了.•即证对于任意，是X中的开集;•对于任意，是X中的开集.S[0,1)a1((,1])fa(0,1]b1((0,])fb定理6.3.2空间中的任何一个连通子集如果包含多于一点,则它一定是一个不可数集.4T引理6.3.3设X是一个正规空间,A是X中的一个闭子集,是一个正数,则对于任何一个连续映射:存在一个连续映射使得对于任何有:[,]gA1133:[,]gAaA*23|()()|gaga定理6.3.4设X是一个拓扑空间,[a,b]是一个闭区间,则X是一个正规空间当且仅当对于X中的任何一个闭集A和任何一个连续映射有一个连续映射是f的扩张:[,]fAab:[,]gXab作业：1