7第七章 多元函数微积分

第七章多元函数微积分第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念第三节偏导数和全微分第四节多元复合函数求导法则主要内容：第六节多元函数的极值第七节二重积分的概念和性质第八节二重积分的计算第九节对坐标的曲线积分第五节隐函数的求导法则第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、二次曲面主要内容基本要求了解空间直角坐标系，空间点的坐标；掌握空间两点间的距离公式了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面及常见曲面方程作出其图形重点由平面及常见曲面方程作出其图形坐标原点：空间一个定点O；三个坐标轴：三条相互垂直的数轴，都以O为原点且一般具有相同的单位长度x轴（横轴），方向为由里向外；y轴（纵轴），方向为由左向右；z轴（竖轴），方向为由下向上。它们的方向通常符合右手法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后沿握拳方向旋转90指向y轴,此时大拇指的方向即为z轴方向.如图所示一、空间直角坐标系三个坐标面：每两轴所确定的平面.即xOy面、yOz面和zOx面.OzxyzOx平面yOz平面xOy平面卦限：三个坐标面把空间分为八个部分,每部分称为一个卦限.在xOy面的上方有四个卦限,在xOz面的右方，yOz面的前方的卦限称为第Ⅰ卦限,然后按逆时针顺序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限；在xOy面的下方，分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.OxyⅠⅣⅤⅥⅦⅧⅡⅢz点的坐标：设P为空间的任意一点,过点P作垂直于坐标面xOy的直线得垂足P,过P分别与x轴,y轴垂直且相交的直线,过P作与z轴垂直且相交的直线,依次得,,xyz轴上的三个垂足.,,RNM设,,xyz分别是RNM,,点在数轴上的坐标.这样空间内任一点P就确定了惟一的一组有序的数组,,xyz,用(,,)xyz表示.zxOyNM),,(zyxP'PyRzx反之,任给出一组有序数组,xy和z,可以确定空间惟一的点P与之对应.根据上面的法则,建立了空间一点与有序实数（x,y,z）之间的一一对应关系.有序数组(,,)xyz称为点P的坐标,x,y,z分别称为横坐标,纵坐标和竖坐标.设11112222(,,),(,,)MxyzMxyz为空间两点（如图），假设点12,MM在xOy平面上的投影分别为12,PP，过点1M在平面1221MMPP内作112∥MNPP交22MP于点N，可知，111222221(,,0),(,,0),(,,)PxyPxyNxyz由直角三角形的勾股定理可以推得22212212121()()()MMxxyyzz特别地，点(,,)Mxyz到坐标原点的距离为222OMxyzxyzO1111(,,)Mxyz2222(,,)Mxyz1P2PN二、空间两点间的距离公式定义如果曲面Σ上每一点的坐标都满足方程0),,(zyxF；而不在曲面Σ上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程0),,(zyxF为曲面Σ的方程,而称曲面Σ为此方程的图形.三、空间曲面及其方程1、曲面方程的概念0),,(zyxFxyzO例1求球心在0000(,,)Mxyz,半径为R的球面方程.解设点),,(zyxM在为球面上任意一点,由题意可知0MMR即Rzzyyxx202020)()()(,两边平方,得2202020)()()(Rzzyyxx经验证，上式就是以),,(0000zyxM为球心,以R为球半径的球面方程.特别地，球心在坐标原点的球面方程为2222Rzyx.例2求与两定点1(1,1,0)M，2(2,2,1)M等距离的点的轨迹方程.解设),,(zyxM为轨迹上的点,按题意有：12MMMM写成坐标形式,即222222(1)(1)(0)(2)(2)(1)xyzxyz化简,得2227xyz2.平面的一般式方程可以证明，平面方程均可用三元一次方程0DCzByAx（1）来表示反过来,三元一次方程0DCzByAx的图形一定是平面我们将方程(1)为平面的一般式方程.对于一些特殊的三元一次方程，应熟悉它们图形的特点：1）当0D时，方程表示通过原点的平面；2）当,,ABC中之一为零时，如0A，方程变为0ByCzD，平面平行于x轴，此时若0D，则0ByCz表示通过x轴的平面；3）如果,,ABC中有两个为零，如0AB，方程变为0CzD，它表示平行于xOy面的平面，特别地，若0D，方程0z表示xOy平面.（1）;2x（2）;1z（3）;1yx（4）1czbyax（cba,,均不为)0例3描绘出下列平面方程所代表的平面：zOxy2zOxy1zOxy11ABCcabzOxy柱面：直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面．定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.LCL3、母线平行于坐标轴的柱面（1）圆柱面方程设一个圆柱面的母线平行于z轴,准线C是xOy平面上以原点为圆心,R为半径的圆.在平面直角坐标系中,准线C的方程为222Ryx,求该圆柱面的方程.在圆柱面上任取一点),,(zyxM,过点M的母线与xOy平面的交点)0,,(0yxM一定在准线C上,必定满足方程222Ryx；反之,不在圆柱面上的点,它的坐标不满足这个方程,于是所求圆柱面方程为222Ryx.zOxyM0M（2）准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程一般来说,如果柱面的准线是xOy面上的曲线C,它在平面直角坐标系中的方程为0),(yxf,那么,以C为准线,母线平行于z轴的柱面方程就是0),(yxf.类似地,方程0),(zyg表示母线平行于x轴的柱面.方程0),(zxh表示母线平行于y轴的柱面.在空间直角坐标系中，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.例3方程12222byax,12222byax,02,2pyx分别表示母线平行于z轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面.如下图所示,由于这些方程都是二次的,因此称为二次柱面.xyOzyOxzyOxz旋转曲面：一平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转所形成的曲面称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面的母线,直线L称为旋转曲面的轴.坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程：可以证明，yOz平面上的曲线C：0),(zyf,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为0),(22zyxf4、旋转曲面同理,曲线C绕y轴旋转的旋转曲面方程为0),(22zxyf..O1OM),,0(111zyMxyz0),(zyfC：例4求由yOz平面上的直线)0(kkyz绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程.解在方程中,把y换成22yx得所求方程为22yxkz,即)(2222yxkz.此曲面为顶点在原点,对称轴为z轴的圆锥面(如右图).zxyO(1)椭球面方程1222222czbyax)0,0,0(cba,所表示的曲面称为椭球面,cba,,称为椭球面的半轴.二次曲面：在空间直角坐标系中,若0),,(zyxF是二次方程,则它的图形称为二次曲面.四、二次曲面zxyO当ba时原方程化为122222czayx，它是一个椭圆绕z轴旋转而成的旋转椭球面.当cba时,原方程化为2222azyx，它是一个球心在坐标原点,球半径为a的球面.(2)椭圆抛物面方程22(0,0)22xyzpqpq所表示的曲面称为椭圆抛物面.由方程zqypx2222知,z≥0,故曲面在xOy平的下方无图形.zxyO(3)双曲面方程1222222czbyax)0,0,0(cba所表示的曲面称为单叶双曲面.方程1222222czbyax)0,0,0(cba所表示的曲面称为双叶双曲面.OyxzzOxy第二节多元函数的基本概念一、多元函数二、二元函数的极限与连续性主要内容基本要求理解平面区域的有关概念；理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示；了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性重点二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念1.实例分析例1设矩形的边长分别x和y，则矩形的面积S为xyS.在此，当x和y每取定一组值时，就有一确定的面积值S．即S依赖于x和y的变化而变化．例2具有一定质量的理想气体，其体积为V，压强为P，热力学温度T之间具有下面依赖关系VRTP（R是常数）.在这一问题中有三个变量P，V，T，当V和T每取定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强P．一、多元函数１．二元函数的定义定义1(二元函数)设有三个变量,xy和,z如果当变量,xy在它们的变化范围D中任意取定一对值时，变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值与其对应，则称z为变量,xy的二元函数，记为),(yxfz，其中x与y称为自变量，函数z也叫因变量．自变量x与y的变化范围D称为函数的定义域．2、区域区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性(如果一部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性)的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域．如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域，否则称D为无界区域．常见区域有矩形域：dycbxa,,圆域:).0()()(22020yyxx圆域22020)()(|),(yyxxyx一般称为平面上点),(000yxP的邻域，而称不包含点0P的邻域为去心邻域．二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域.二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成．例3求二元函数222yxaz的定义域．解由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足222ayx的,,yx即定义域为222|),(ayxyxD这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心，a为半径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）.O222ayxyxaa例4求二元函数)ln(yxz的定义域．解自变量yx,所取的值必须满足不等式0yx,即定义域为0|),(yxyxD.点集D在xOy面上表示一个在直线上方的半平面(不包含边界0yx)，如下图所示，此时D为无界开区域．yOx例5求二元函数1)9ln(2222yxyxz的定义域．解这个函数是由)9ln(22yx和122yx两部分构成，所以要使函数z有意义，yx,必须同时满足,01,092222yxyx即函数定义域为22(,)|19Dxyxy(如图所示)．xO13y2.二元函数的几何表示把自变量yx,及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数),(yxfz的定义域D(如下图)，再过D域中的任一点),(yxM作垂直于xOy平面的有向线段MP，使P点的竖坐标为与),(yx对应的函数值z．当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数),(yxfz的几何图形，它通常是一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影．yxzOXYMDP例6作二元函数yxz1的图形．解二元函数yxz1的图形是空间一平面，其图形如下图所示．xyzOz=1-x-y例7作二元函数22yxz的图形．解此函数的定义域为(,),Dxyxy，且0z，即曲面上的点都在xOy面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示．z22yxzxyO例8作二元函数222yxRz)0(R的图形．解此二元函数的定义域为222Ryx，即xOy坐标面上的以O为圆心，R为半径的圆，且Rz0．其图形为上半圆周，如下图所示．yxzRRRO1.二元函数的极限定义2设二元函数),(