2.4.2抛物线的简单几何性质(综合)

一、温故知新(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e＞1时，是双曲线.当0e1时，是椭圆；(定点F不在定直线l上)当e=1时，是抛物线.(二)抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳标准方程图形焦点准线xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0,)2pF2px(0,)2pF(,0)2pF2px2py2py1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．5解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.答案：D2．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()A.18B．－18C．8D．－8解析：将抛物线的方程化为标准形式x2＝1ay，其准线方程是y＝－14a＝2，a＝－18.答案：Byox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x(,)xy关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大开口越大方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0,(2pF)0,(2pF),0(2pF),0(2pF2px2px2yp2pyx轴x轴y轴y轴oxFOylxFOylxFOylxFOyl练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点原点(0,0)离心率e＝1性质开口方向向右向左向上向下xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.P越大,开口越开阔1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。24yx16483课堂练习：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFPx0p/2焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,20pxPF02xpPF20pyPF02ypPF－归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22三、典例精析24yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).20xy2165yx2求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）（2）顶点在原点，准线是x＝4（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5（4）顶点在原点，焦点在x轴上，过点A（－2，4）练习yx162yx202xy162xy82（三）、例题讲解：练习１：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,２)的抛物线的标准方程为yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.AyxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例题讲解：练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为52A探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845例6已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?1(2).lykx解：直线的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得⑴只有一个公共点200,16(21)0kkkk或△11,0,2kk或或k=⑵有两个公共点2016(21)0kkk△110,02kk或⑶没有公共点2016(21)0kkk△11,2kk或11,0,2kkk综上所述当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk当或时,直线与抛物线没有公共点。24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2y6xB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得26水面宽例题3（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。24yx(4,2)四、课堂练习342.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线24yx上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6准线为l，||PFP到l的距离.∴min(||||)PAPFA到l的距离=4B有困难，找准线！35已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________)1,41(有困难，找准线！1.AB是抛物线x=y2的一条焦点弦，且｜AB｜=4，则AB的中点到直线x+1=0的距离为()(A)25(B)2(C)3(D)411D有困难，找准线！6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.21yx321021923C解：设AB的方程为y=x+b,课堂练习:2.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.由2yxbyx消去x得y2-y+b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴211ABk21112()4yyyy=28b，又AB与CD的距离d=42b,由ABCD为正方形有28b=42b,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32或52.4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.22168yxxy或22124yxyx或解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.故选A.答案：A2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．8B．10C．6D．4【变式训练】直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()（A）1（B）1或3（C）0（D）1或0【解析】选D.由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0,解得k＝1，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，综上,k＝0或k＝1.