2.4z变换的基本性质和定理

数字信号处理第二章z变换（2.4）主讲：熊美英E-mail：[e-mail]九江学院电子工程学院2第二章z变换2.1引言2.2z变换的定义及收敛域2.3z反变换2.4z变换的基本性质和定理2.5z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系2.6序列的傅里叶变换2.7傅里叶变换的一些对称性质2.8离散系统的系统函数及频率响应3回顾：2.3z反变换求z反变换的方法：1、围线积分法（留数法）；2、部分分式展开法；3、长除法。41、围线积分法（留数法）注意：应用第二式计算时，要求的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。1)(nzzX52、部分分式展开法然后各部分查表作z反变换，再相加。)(...)()()]([...)]([)]([)]([)(21121111nxnxnxzXzzXzzXzzXznxKK6部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：rkzzxzzdzdkrCizzkrikrkrk2,1,)()[()!(173、长除法将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应一个因果序列或一个反因果序列。对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。82.4z变换的基本性质和定理1、线性2、序列的移位3、乘以指数序列（z域尺度变换）4、序列的线性加权（z域求导数）5、共轭序列6、翻褶序列7、初值定理8、终值定理9、有限项累加特性10、序列的卷积和（时域卷积和定理）11、序列相乘12、帕赛瓦定理91、线性如果则有：序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合。收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。),()(zbYzaX),min(),max(yxyxRRzRR10[例2-10]：已知,求其z变换。解：1112收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。参见[例2-11]：（见性质2）132、序列的移位如果则有：证明：根据z变换的定义证明nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()]([移位后的序列z变换等于原序列z变换×收敛域规律？14[例2-11]：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。解：153、乘以指数序列（z域尺度变换）如果则有：证明：根据z变换的定义证明164、序列的线性加权（z域求导数）如果则有：证明：（见下页，怎样证明？）从右至左证明。17185、共轭序列如果则有：证明：196、翻褶序列如果则有：证明：（见下页）20证明：217、初值定理证明：（怎样证明？）)0()(limxzXz显然：228、终值定理证明：（见下页，怎样证明？）23证明：24又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子(z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z→1的极限。259、有限项累加特性证明：（见下页）26证明：272810、序列的卷积和（时域卷积和定理）29证明：3031[例2-12]：解：先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反变换。323311、序列相乘（z域复卷积定理）其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）34[例2-13]：解：见下页。35解：36373812、帕赛瓦定理其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）39*几点说明：4041回顾：2.4z变换的基本性质和定理1、线性2、序列的移位3、乘以指数序列（z域尺度变换）4、序列的线性加权（z域求导数）5、共轭序列6、翻褶序列7、初值定理8、终值定理9、有限项累加特性10、序列的卷积和（时域卷积和定理）11、序列相乘12、帕赛瓦定理42序列Z变换收敛域说明两者交集线性性质不变移位性质上下限放大|a|乘以指数序列)(nx)(zXxxRzR)(nh)(zHhhRzR)()(nbynax)()(zbYzaX)(zXzm)(mnx)(nxan)(azX43序列Z变换收敛域说明不变线性加权不变共轭上下限分别倒数翻褶不变实部z变换不变j倍虚部z变换)(nnx)(zXdzdz)(*nx)(**zX)(nx)1(zX)](Re[nx)]()([5.0**zXzX)](Im[nxj)]()([5.0**zXzX44序列Z变换收敛域说明有限项累加特性两者交集序列的卷积和上下限对应相乘序列相乘x(n)为因果序列初值定理且X(z)的极点落在单位圆内部，最多在z=1处有一极点终值定理)(1zXzznmmx0)()()(nhnx)()(zHzX)()(nhnxcdvvvzHvXj1)()(21]1,max[xRz45序列Z变换收敛域说明帕赛瓦定理几条重要结论：1、时域作卷积运算，z变换上相乘2、实部z变换等于3、序列在时域计算的能量等于在频域计算的能量hxhxRRRR1)]()([5.0**zXzX