28二项式定理

1.5.2二项式系数的性质和应用知识回顾1.二项式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式其中Cnran-rbr叫做二项展开式的通项，记作Tr+1一般地，对于nN*，有：011222()nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb2.注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC问题情境(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C1112113311464115101051(a+b)606C16C26C36C46C56C66C1615201561试计算下列各展开式中的二项式系数：(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C(a+b)606C16C26C36C46C56C66C11121133114641151010511615201561类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.讨论总结11121133114641151010511615201561杨辉三角帕斯卡三角通过探究，你能发现什么结论？(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C(a+b)606C16C26C36C46C56C66C数学建构(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.(3)各二项式系数的和0122rnnnnnnnCCCCC()2nnab即：的展开式的各个二项式系数的和等于二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.二项式系数的性质mnmnnCC1!1!!()!(1)!(1)!1knknnnknCknkkknknkCk数学建构(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.11kknnnkCCk11.kknnnkCCk所以相对于的增减情况由决定1nkk由＞1k＜12n可知，当时二项式系数逐渐增大，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项的取值最大.k＜12n(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等且同时取得最大值2nnC12nnC12nnC(3)各二项式系数的和0122rnnnnnnnCCCCCnnnnnCCCC,,,,210当n=6时,rnCrf)(令:其图象是7个孤立点rCrf6)(}10{nr，，，定义域r61420O63f(r)mnnmnCC代数意义：几何意义：2nr直线作为对称轴将图象分成对称的两部分.函数思想数学运用例1证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.131202nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCC数学运用例2用二项式定理证明：9910-1能被1000整除.例3求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法数学运用*Nn变式训练：是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.nannnnnnnnCaCaCaCa21231201na课堂练习随堂检测课堂小结(2)数学思想：函数思想a图象；b单调性；c最值.(3)数学方法：赋值法、递推法(1)二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和课后作业课时作业