线性振动的近似计算方法

线性振动的近似计算方法2020年2月17日《振动力学》2在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法线性振动的近似计算方法2020年2月17日《振动力学》3•邓克利法由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的便于作为系统基频的计算公式0KXXM0XXFM0XXD自由振动作用力方程：左乘柔度矩阵F=K-1，位移方程：定义D=FM为系统的动力矩阵nRX作用力方程的特征值问题：φφMK2位移方程的特征值问题：φφD线性振动的近似计算方法/邓克利法2020年2月17日《振动力学》4作用力方程的特征值问题：φφMK2位移方程的特征值问题：φφD特征值：22221nn21关系：2/1ii位移方程的最大特征根：211/1对应着系统的第一阶固有频率（基频）位移方程的特征方程：0ID展开：0)()1(1111nnnnnaaa其中：Dtrdddann)(22111例如：022211211dddd0)]()([)1(21122211221122dddddd线性振动的近似计算方法/邓克利法D=FM2020年2月17日《振动力学》5特征方程：0)()1(1111nnnnnaaa其中：Dtrdddann)(22111当M为对角阵时：)(FMDtrtr特征方程又可写为：0)())((21nniia11有：得：niiiiniimf11柔度系数fii的物理意义：沿第i个坐标施加单位力时所产生的第i个坐标的位移2/1iiniiiiniimf1121线性振动的近似计算方法/邓克利法D=FMniiiimf1trDniiiimf12020年2月17日《振动力学》6如果只保留第i个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf11iiiiiimfmk12例如：两自由度系统（1）只保留m1时柔度矩阵：2111111111kkkkkF1111kf1121mk（2）只保留m2时122122111kkkf21222mkm1k1k2m2m1k1m2k1k2niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法/邓克利法2020年2月17日《振动力学》7如果只保留第i个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf11iiiiiimfmk12将代入：2i22221121111nnii对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111n邓克利法得到的基频是精确值的下限niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法/邓克利法2020年2月17日《振动力学》822221121111nnii解释：22221211111n解得：ba21122322111na22221111nbab121因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限。得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法/邓克利法2020年2月17日《振动力学》9例：三自由度系统（教材P104算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm采用常规方法，固有频率：mk/3730.01mk/3213.12mk/0286.23邓克利法：当m1单独存在时mk/21当m2单独存在时mk/1222kkkkkk21212112当m3单独存在时kkkkk25111132112352123kkmk52322221211111nmk/3535.01代入邓克利法公式：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法/邓克利法2020年2月17日《振动力学》10•瑞利法基于能量原理的一种近似方法可用于计算系统的基频算出的近似值为实际基频的上限配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。n自由度保守系统：0KXXMnRX机械能守恒主振动：)sin(tφX动能与势能：XMXTT21KXXTV21最大值：φφMTT2max21φφKTV21maxmaxmaxVT2)(φφφφφMKTTR瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》112)(φφφφφMKTTR瑞利商对于第i阶模态：2)()()()()()(iiTiiTiiRφφφφφMK当为一般向量时（不是实际模态），总能展开为n个正则模态的线性组合：φ)()2(2)1(1nNNNNaaaφφφ＋Tnaaa],,,[21a代入瑞利商：aMΦΦaaKΦΦaNTNTNTNTR)(可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值212n即：221)(nR线性振动的近似计算方法/瑞利法njjNja1)(φaΦN],,,[)()2()1(nNNNNφφφΦIaaΛaaTTnjjnjjjaa121222020年2月17日《振动力学》12njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaΛaaaMΦΦaaKΦΦa221)(nR分析：j1换为若将瑞利商右端分子内的所有是最低阶固有频率1由于因此：21121212)(njjnjjaaR21)(R由瑞利商公式知，当确为第一阶模态时，有：)1(φ因此，瑞利商的极小值为21同理可证明，瑞利商的极大值为2n线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》13njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaΛaaaMΦΦaaKΦΦa221)(nRkjnjaakjj,,,2,1，如果接近第k阶真实模态)(kφ比起ak，其它系数很小1j代入，得：njjkjkR12222)()(线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》14kjjaanjjkjkR12222)()(线性振动的近似计算方法/瑞利法解释：例如k＝1njaajj,,21，222212222222121)(nnnaaaaaaRnjjnjjjaaR12122)(2222122123212221221232122222222211)()(nnnnn22222122222211)()1(nniiin22222122211)(nniiiniii2212221)(222222222211nnn21221222122122221222121aaaaaannn约去a1分子上加减1项2020年2月17日《振动力学》15njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaΛaaaMΦΦaaKΦΦa221)(nRkjnjaakjj,,,2,1，如果接近第k阶真实模态)(kφ比起ak，其它系数很小1j代入，得：njjkjkR12222)()(因此，若与的差异为一阶小量，则瑞利商与的差别为二阶小量。)(kφ2k对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于瑞利商在基频处取极小值，)~2(0212njj利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》16njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaΛaaaMΦΦaaKΦΦa221)(nR解释：njjkjkR12222)()(因为)~2(0212njj利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。例如k＝1njjkjR222221)()(瑞利商：所以21)(R得证!线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》17例：三自由度系统（教材P106算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm采用常规方法，固有频率：mk/3730.01mk/3213.12mk/0286.23采用邓克利法，基频：mk/3535.01取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型，即：T]5.2,2,1[MKTTR)(代入瑞利商公式：mkR142857.0)(mk3780.01与精确值相比，相对误差1.34%mmkk2m2k线性振动的近似计算方法/瑞利法2020年2月17日《振动力学》18•里茨法•里兹法是瑞利法的改进•里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。•用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态。•瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。线性振动的近似计算方法/里兹法2020年2月17日《振动力学》19里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：ΠAηηηηrjjjrraaaa1)()()2(2)1(1rnrR],,,[)()2()1(ηηηΠ121],,,[rTrRaaaA其中：1)(niRη元素待定代入瑞利商：φφφφφMKTTR)()()(ΠARR其中：rrTRKΠΠKrrTRMΠΠM由于在系统中的真实主振型处取驻值，所以A的各个元素应当从下式确定：)(R)2,1(,0rjaRj线性振动的近似计算方法/里兹法AMΠΠAAKΠΠATTTTAMAAKATT22020年2月17日《振动力学》20φφφφφMKTTR)(),,2,1(,0rjaRj瑞利商：2)()(AMAAKAAMΠΠAAKΠΠAΠATTTTTTRR代入：),,2,1(,0)()(2rjaaTjTjAMAAKA),,2,1(,2)(2)()()(rjaaaaTjTjjTTjTjAKeAKAAKAAKAAKA其中je是r阶单位矩阵的第j列上面r个方程可合成为：AKAKAA2)(TA表示将函数分别对A的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量线性振动的近似计算方法/里兹法2020年2月17日《振动力学》21),,2,1(,0rjaRj瑞利商：2)()(AMAAKAAMΠΠAAKΠΠAΠATTTTTTRR),,2,1(,0)()(2rjaaTjTj