线性方程组与矩阵秩的若干问题

线性方程组与矩阵秩的若干问题福建师范大学数计学院代数教研室肖民卿2008年10月引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：11112211211222221122(1)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb线性方程组(1)的矩阵表示为：Axb其中，111211121222221211121121222212,,,nnmmmnnmnnmmmnmaaaxbaaaxbaaaxbaaabaaabaaabAxbAAb线性方程组有解的判定定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是(()rrAA这里，表示矩阵的秩。特别地，若，则线性方程组(1)有唯一解；若，则线性方程组(1)有无穷多解。()()rrnAA()()rrnAA()rAA利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。1.直线与直线的位置关系设几何空间中两条直线的方程分别为1111122220:0axbyczdLaxbyczd3333244440:0axbyczdLaxbyczd这样，与的位置关系取决于线性方程组解的情况。记1L2L11112222333344440000axbyczdaxbyczdaxbyczdaxbyczd1111111222222233333334444444,abcabcdabcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论：（i）与相交1L2L()()3rrAA（ii）与重合1L2L()()2rrAA（iii）与平行1L2L()2,()3rrAA（iv）与异面1L2L()3,()4rrAA2.直线与平面的位置关系设几何空间中直线和平面的方程分别为111122220:0axbyczdLaxbyczd:0axbyczd记11111112222222,abcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论：（i）与相交L()()3rrAA（ii）在上L()()2rrAA（iii）与平行()2,()3rrAAL3.三个平面的位置关系设几何空间中三个平面的方程分别为22222:0axbyczd记111111122222223333333,abcabcdabcabcdabcabcdAA11111:0axbyczd33333:0axbyczd则有如下结论：（i）三个平面有一个公共点()()3rrAA（ii）三个平面有一条公共直线()()2rrAA（iii）三个平面平行()1,()2rrAA（iv）三个平面构成三棱柱()2,()3rrAA二.矩阵秩不等式中的一些问题关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.Sylvester不等式：设、、分别是、、矩阵.ABCmnnllp()()()min((),())rrnrrrABABAB剟Frobenius不等式：()()()()rrrrABBCBABC„问题：在这两个不等式中等号成立的条件是什么？即以下等式成立的条件分别是什么？()()()rrnrABAB③()()rrABB①()()rrABA②()()()()rrrrABBCBABC④许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必要条件：当且仅当齐次线性方程组与齐()()rrABB0Bx次线性方程组同解.0ABx利用这一结果，可以得到等式②成立的充分必要条件：当且仅当齐次线性方程组与齐次线性方程组同解.()()rrABAT0AxTT0BAx对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了研究，给出等式成立的充分必要条件.文献[3]的结论：()()()rrrnABAB的充分必要条件是存在矩阵和，使得.XYXABYI()()()()rrrCrABCABBB的充分必要条件是存在矩阵和，使得.其中，是XYXAHLCYIBHL的任意取定的一个满秩分解.B文献[4]的结论：()()()rrrnABAB的充分必要条件是,对于齐次线性方程组的任一解,都存在使得.或0Ax()()()()rrrCrABCABBB的充分必要条件是,对于齐次方程组的任一形如的解,都存在,使得.B者说,的零空间包含于的象空间,即.AB()()ABNU0AxBBCB文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式①~等式④成立的充分必要条件.引理1对于任意适维矩阵、、，有A)(())()(())arrrABIAACABIAAC)()(())()brrrBABACIAACIAACB这里列出其主要结果：引理2对于任意、，有A)()()(())(())()arrrrrABAIAABIBBABB)()(())(())()brrrrrAABIAABAIBBB引理3设有n列，有n行，则对任意、，有AB0()(()()()(()())()rrrIrrrrrnrAABIAABABIBBABIBBIAAABAB定理1在Sylvester不等式中，对任意、，有AB()()arrAABBIBB()()()()()()0crrrnABABIBBIAA)()())brrABABIAA为列满秩；为行满秩；引理4对任意、，有()AB0()(((()())(()()))()()rrrrrrABBCBABBCIBCBCBIABABBABC()BC定理2在Frobenius不等式中，对任意、，有()AB()BC()()()()(()())(()())0rrrrABCABBCBIBCBCBIABAB参考文献[1]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000.[2]丘维声.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3]胡付高.关于一类矩阵秩的恒等式注记[J].武汉科技大学学报,2004,27(3):322-323.[4]吕登峰,刘琼等.矩阵秩的Sylvester与Frobenius等式问题[J].孝感学院学报,2006,26(6):62-65.[5]王松桂,吴密霞等.矩阵不等式(第二版)[M].北京:科学出版社,2006.谢谢！