线性方程组及矩阵的初等变换

线性方程组及矩阵的初等变换(Matlab)实验2一、问题考虑投入产出问题假设某企业生产甲、乙两种产品，在生产过程中，甲、乙两种产品的产品量，可提供的商品量及互相提供消耗的数量关系统计如下表(表中第一列的两个数分别表示生产250吨甲产品时甲产品和乙产品的消耗量，第二列的两个数分别表示生产100m3乙产品时甲产品和乙产品的消耗量)消耗状况甲乙商品量总产量生产状况甲50(吨)125(吨)75(吨)250(吨)乙35(m3)25(m3)40(m3)100(m3)（1）假设在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，商品需求量增加。其中甲增到85吨，乙增到50(m3)。应如何计划甲、乙两种产品的总产量才能满足市场需求？（2）假设下一个生产周期计划总产量甲为260吨，乙为110(m3)，那么可提供给市场的商品量各是多少？考虑在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，这决定了生产甲、乙单位产品时对原材料的消耗量不变。我们用甲、乙两种产品的总产品量分别去除表的第一、二列所得的比值。表示甲、乙两种产品各生产单位产品量时对甲、乙产品的消耗量。而对原材料的消耗量不变说明在下一个生产周期内这样的比值仍然适用。若设下一个生产周期内甲、乙产品的总产品量和可提供的商品量分别为x1，x2和y1,y2，则可得下表。消耗比值甲乙商品量总产量生产状况甲0.21.25y1x1乙0.140.25y2x2由于消耗量+商品量=总产量因此有2221112125.014.025.12.0xyxxxyxx整理得22112175.014.025.18.0yxxyxx212175.014.025.18.0xxyy2112175.014.025.18.0yyxx写成矩阵形式或二、实验目的学会用Matlab软件实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解。三、预备知识1.线性方程组的矩阵形式，上三角矩阵，初等变换、向量组的线性相关性等知识。(1)ai=A(i,:);%选择A第i行做一个行向量(2)aj=A(:,j);%选择A第j列做一个列向量(3)a1*a2’;%两个行向量a1与a2的内积(4)A([i,j],:)=A([j,i],:);%让A第i行与第j行互换(5)A(i,:)=K*A(i,:);%让K乘以A的第i行(6)A(i,:)=A(i,:)+K*A(j,:);%让A第i行加上第j行K倍(7)Poly(A);%求矩阵A的特征多项式2.本实验所用Matlab命令提示：，可得下一个生产周期内甲产品的计划总产量和乙产品的计划总产量，且扣除消耗掉的产品量后的商品量才能满足市场的需求；四、实验内容与要求508521yy508575.014.025.18.0121xx1、若当时，计11026021xx10025021xx2.若当时，比原来的计划总产量增加了，由于增产比例不当，通过计算11026075.014.025.18.021yy，可知下一个生产周期内甲产品可提供的商品量反而比原来减少了4.5吨。3.求线性方程组3410851210454321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx4.已知向量组M:)431(),110(),1743(),1042(),521(54321aaaaa求：（1）向量组M的秩；（2）判断M的相关性；（3）写出M的一个极大无关组；（4）将其余向量用极大无关组线性表示五、操作提示（1）计算过程：A=[0.8-1.25;-0.140.75];B=[85;50];X1=inv(A)*B（1）计算结果:x1=297.0588122.1176(即甲增到85吨，乙增到50(m3)时,计划总产量甲、乙两种产品分别为297.0588与122.1176,才能满足市场需求。)（2）计算结果:X2=70.500046.1000(结果表明，虽然计划总产量都增加了,由于增产比例不当,在下一个生产周期内甲产品可提供的商品量反而比原来75吨少了4.5吨。）（2）计算过程：A=[0.8-1.25;-0.140.75];C=[260;110];X2=A*C（3）计算过程:解线性方程组：A=[5-1-1-1;-110-1-1;-1-15-1;-1-1-110];D=det(A)b=[-4;12;8;34];x=A\b（3）运行结果如下：D=2112x=1234（4）计算过程:将向量按列写成矩阵，可以求出行的最简形式并回答所有问题M=[1-230-1;-24-413;-510-17-14]M1=rref(M)化为阶梯形的最简形式（4）计算结果:M=1-230-1-24-413-510-17-14M1=1.0000-2.00000-1.5000-2.5000001.00000.50000.500000000因M1非零行行数为2，向量组M的秩2；因为秩2小于个数5，故M为线性相关向量组；又行最简形式中单位向量对应的a1,a3为一个极大无关组；由M1得:3153143125.05.32,5.05.1,02aaaaaaaaa六、上机练习1、做出实验内容(3)中A的行向量组：a1、a2;2、做出实验内容(3)中A的列向量组：b1、b2;3、求a1与a2的内积A1;4、完成以下初等变换：将A的一、二行互换，再将其第一行乘以1/0.14，再将其第一行的0.8倍加至第二行；5、求下列非齐次方程组的通解：(矩阵及增广矩阵的秩，矩阵阶梯形的行最简形式)246635554254843219526335544242364265432165432642165321654321654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx六、上机练习参考答案（1）A=[0.8-1.25;-0.140.75];a1=A(1,:)a2=A(2,:)（1）a1=0.8000-1.2500a2=-0.14000.7500（2）A=[0.8-1.25;-0.140.75];b1=A(:,1)b2=A(:,2)（2）b1=0.8000-0.1400b2=-1.25000.7500六、上机练习参考答案（3）A=[0.8-1.25;-0.140.75];X3=a1*a2'（3）X3=-1.0495（4）A=[0.8-1.25;-0.140.75];A2([1,2],:)=A([2,1],:)A2(1,:)=1/0.14*A2(1,:)（4）A2=-0.14000.75000.8000-1.2500A2=-1.00005.35710.8000-1.2500六、上机练习参考答案（5）解非齐次方程组的通解：A21=[1246-32;24-451-5;36205-9;230401;0-4-5214;55-366-4]D=det(A21)B21=[4;3;-1;8;-5;2];A22=[A21B21];R1=rank(A21)R2=rank(A22)RR=rref(A22)六、上机练习参考答案（5）A21=1246-3224-451-536205-92304010-4-521455-366-4D=0R1=5R2=5RR=Columns1through61.000000006.806801.0000000-2.2520001.000000-0.20410001.00000-1.464400001.0000-3.1000