线性空间与线性变换

同济大学数学系2009-3-22第1章线性空间与线性变换武汉理工大学理学院1.1线性空间的基本概念2定义：设F是复数的一个非空集合，若满足1）F中包含0和1；2）F对数的四则运算封闭则称集合F是一个数域（field）例子：有理数域实数域复数域:::QRC整数集不是数域:Z本教程所见数域都是实数域R或者是复数域C线性空间的定义3定义：设V是一个非空集合，F为数域，a,b,gV,对于任意的a,bV,总有唯一的元素gV与之对应，称g为a与b的和，记作g=a+b，且;)1(abba+=+);()()2(gbagba++=++，存在零元素：abaab=+,,)3(VV;0,)4(=+baba，存在负元素VV;0为并记为零元素，称bb;abab为并记的负元素，为称4对于任意的lF及任意的aV，总有唯一的元素dV与之对应，称d为l与a的积，记作d=la，且aa=1)8(alal)()()5(=lblabal+=+)()7(alaal+=+)()6(则称V为数域F上的线性空间，称V的元素为向量，称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。5定义加法：T2211),,,(nnyxyxyx+++=+ba,),,,(T21nxxx=a,),,,(T21nnRxxx=b},,,|),,,({TRxxxxxxRnnn=2121例1.实数域上全体n维向量的集合Rk定义数乘：,),,,(T21nkxkxkxk=a上的线性空间。是数域RRn上的线性空间。是数域CCn例2实数域R上的全体m×n矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间，记作Rm×n,nmnmnmnmRCBA=+,nmnmnmRDA=l∴Rm×n是一个线性空间。},)(|{RaaAARijnmijnm==6对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。111010[]{,,}=+++nnnnPxaxaxaaaR7例3次数小于n的多项式的全体，记作P[x]np00001+++=xxn][xQn对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间n-1次多项式的全体}0{][01+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1n例4.][对运算不封闭xQn\8例5在区间[a,b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性空间，记作C[a,b]。9],[)()(baCxgxf+\∴C[a,b]是一个线性空间。}],[)(|)({],[上连续在baxfxfbaC=()[,]kfxCab],[)(),(baCxgxf例6正实数的全体R+，在其中定义加法及乘数运算为+==RbaRaaabba,,,,lll验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．10;)1(abbaabba===);()()())(2(cbacabcabcba===;11aaa==;111==aaaa有对任何中存在零元素,,1)3(++RaR使有负元素,,)4(1++RaRa证明11;1)5(1aaa==;)6(aaaaalllll====;)7(aaaaaaaalllll====++lllllbaababba===)()()8(所以对所定义的运算构成线性空间．R+.baballll==12线性空间的性质（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：00or0kkaa===(1)aa=定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…an∈V若(1)a1,a2,…an线性无关，(2)a∈V,a可由a1,a2,…an线性表示，a=x1a1+x2a2+…+xnan则称a1,a2,…an为V的一组基，称x1,x2,…,xn为a在基a1,a2,…an下的坐标，称n为V的维数，记作dimV=n。14维数，基与坐标15例1设22,,,abRabcdRcd=则22R是实数域R上的线性空间。16自然基====100001000010000122211211EEEE,,,22211211dEcEbEaEdcbaA+++==17===100210321321aaa,,例2设123,,aaa下的坐标。求a=(1,0,-1)T在基为R3的一组基，332211aaaaxxx++=18=++=+=+++=123021232101321211321211xxxxxxxxxxxx,===\021321xxx为坐标向量021212aaa=\19123411011110,,,11100000AAAA====22R1211=A例3求中的元素，在基下的坐标。20解：设112233441211xAxAxAxA=+++134123121xxxxxxxxx++=+21134112321231411221111xxxxxxxxxxxxx++====\+====123412211AAAA\=+定理:设a1,a2…,ar(1≤r≤n)是n维线性空间V中的r个线性无关的向量，则存在V中n-r个向量ar+1,…an使得a1,…,ar,ar+1,…an成为V的基.基的扩张定理基变换与坐标变换定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…an∈Vb1,b2,…bn∈V为V的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnpppppppppbaaabaaabaaa=+++=+++=+++【基变换公式】Pnn),,,(),,(2121aaabbb=，即的则P称为由基12,,,naaa到基12,,,nbbb【基变换公式】转移矩阵（或过渡矩阵），其中=nnnnnnpppppppppP21222211121125例3设3R123,,aaa123,,bbb是中的两组基，求由基到基的转移矩阵P；1231231001002,1,0;1,1,1321111aaabbb======26=310111001321321),,(),,(aaabbb基变换公式===3233222113aabaabaabP是由基123,,aaa到基123,,bbb的转移矩阵P定理:设V是线性空间，a1,a2,…an,b1,b2,…bn是V的两组基，P是由基a1,a2,…an到b1,b2,…bn的过渡矩阵，则xPy1=是由x到y的坐标变换公式，其中TnTnyyyyxxxx),,,(,),,,(2121==28xPyPyxPyyyyyxxxxnnnnnnn121212211212211==\==+++==+++=,),,,(),,,(),,,(aaabbbbbbaaaaaaa29例4设3R123,,aaa是中的两组基，下的坐标a在基1231231001002,1,0;1,1,1321111aaabbb======123,,bbb下的坐标。向量是1,2,1，求在基a30=110040101001131021111001),(xP==\1411xPy31定义:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若对于V中的加法和数乘二种运算，W是数域F上的线性空间，则称W是V的子空间。定理:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭，即则称W是V的子空间。WW+baba则,,)(1WkFkWaa则,,)2(1.2子空间与维数定理32},,|),,,({TRxxxxWnn=220例1.实数域上n维向量的集合的子空间。是则nRW例2.设A为m×n矩阵，向量的集合},|{)(nRxAxxAN==0。或核空间的零空间并称为的子空间是则)(,)(ARANn},,,|{FxxxxxxWmmm+++=212211aaa生成的为由并称的子空间是则mWVWaaa,,,,21例3.设V是数域F上的线性空间，,,,,Vmaaa21V的子空间,记作=mWaaa,,,21==nmWWbbbaaa,,,,,,,212211等价，与向量组若},,,{},,,{nmbbbaaa2121则21WW=定理:设V是F上的线性空间，Vnmbbaa,,,,,11},|{21WW+baba为W1与W2的和，记作W1+W2定义:设W1,W2是线性空间V的子空间，称集合称集合}|{21WWaaa且为W1与W2的交，记作W1∩W2定理:设W1,W2是线性空间V的子空间，则W1+W2与W1∩W2都是V的子空间。称W1+W2为W1与W2的和空间，称W1∩W2为W1与W2的积空间。}|),,({TRxxRx=00例4.线性空间R3的子空间}|),,({TRyyRy=00},|),,({TRyxyxRxy=0求Rx+Ry，Rx+Rxy和Rx∩Rxy。},|),,({TRyxyxRRyx=+0xyR=},|),,({TRyxyxRRxyx=+0xyR=}),,({T000=yxRR}|),,({TRxxRRxyx=00xR=例题.,,)3,2,0,1(,)1,0,1,1(},,{span},02|),,,{(212121212421432114VVVVVxxxxxxxVRTTT+====+=求其中的两个子空间设aaaa例题.3.2..1}|{20312222中矩阵的一般形式求的基与维数；求的子空间；是证明：令，已知WWRWPAAPRAWP===定理(维数公式):设V1,V2是线性空间V的子空间，则)dim()dim(dimdim212121VVVVVV++=+维数公式例5设V1,V2是n维线性空间V的子空间，若nVV+21dimdim则V1,V2中必有非零的公共向量。子空间的直和定义：设V1,V2是线性空间V的子空间，若对每个向量aV1+V2都有唯一的分解式221121VaVaaaa+=,,则称V1与V2的和V1+V2是直和，记作V1V2。}|),,({TRxxRx=00例1.线性空间R3的子空间}|),,({TRyyRy=00求RxRy，RxRyz。},|),,({TRyxyxRRyx=0xyR=},|),,({TRzyzyRyz=0},,|),,({TRzyxzyxRRyzx=3R=定理：设V1,V2是线性空间V的子空间，则下列命题等价(2)向量0的分解式是唯一的；(4)V1的一组基与V2的一组基的简单并是V1+V2的基；(1)V1与V2的和V1+V2是直和;(3)V1∩V2={0};(5)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。例2.设},|{nnTRAAAAV==1},|{nnTRAAAAV==221VVRnn=证明：定理：设U是线性空间V的子空间，则存在V的子空间W，使得V=UW。称W是U在V中的直和补。坐标关系VFnV的基{a1，a2，。。。an}由此建立一个一一对应关系aV，XFn，（a）=X（1）