26复合函数求导

第四节复合函数求导法则及其应用一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式一、复合函数求导法则而函数在处可导，则复合函数)(ufy)(00xgu定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数在可导，)(xgu0x)())(()()(]))(([00000xgxgfxgufxgfxx0x)]([xgfy在可导，且有:即证明：由在可导也即可微)(00xgu)(ufy)()('0uouufyxuoxuufxxgfxxgf)()())(())((000)(xgu0x)(lim00xgxux又由在可导，因此而0)(lim)(lim00xuuuoxuoxx于是xxgfxxgfxgfxxx))(())((lim]))(([0000)()(00xgxxgu)(00xxguu令则)()(')()(000uouufufuuf).()(00xgufdxxgufxgfd)()())](([dxdududydxdy复合函数的求导法则可以写成:即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.复合函数的微分公式为:dxdvdvdududydxdy解:.sin,lnxuuy例4.4.1.sinln的导数求函数xydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot:)]}([{的导数为xfy推广则复合函数),(),(),(xvvuufy设.1sin的导数求函数xey解:)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex例4.4.2.1cos11sin2xexx例4.4.3.)2(21ln32的导数求函数xxxy解:),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2.函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x),v=v(x)可导，则2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxarcxx,)()1(vuvu),()2(是常数cuccu,)()3(vuvuuv.)()4(2vvuvuvu3.复合函数的求导法则的则复合函数而设)]([)(),(xfyxuufy利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例4.4.4解:)](sin[)](sin[1nnnnnxfxnfy)(sin)(sin1nnnxxn1cosnnnxx.)](sin[的导数求函数nnnxfy).()()(xufxydxdududydxdy或导数为).(sin)](sin[)(sin)](sin[cos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn设函数有导数)(xfy)(xf（1）若x是自变量时，dxxfdy)(三、一阶微分的形式不变性（2）若x是中间变量时，即是另一变量t的可微函数)(tx则.dttxfdy)()(dxdtt)(dxxfdy)(结论：不论x是自变量还是中间变量，函数)(xfy的微分形式总是.dxxfdy)(例4.4.5设,求.)12sin(xydy解:uysin12xu)12()12cos(cosxdxududydxxdxx)12cos(22)12cos(例4.4.6bxeyaxsindy设，求.)(sin)(cosaxdebxbxdbxedyaxaxdxaebxdxbbxeaxax)(sincosdxbxeabxbeax)sincos(四、隐函数的导数解:定义4.4.1由方程所确定的函数0),(yxF)(xyy称为隐函数。.)(形式称为显函数xfy隐函数的显化)(0),(xfyyxF问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.例4.4.7的导数.解:法一、方程两边对x求导(注:y看成x的函数)求由方程确定的隐函数012yxexy)(xyy0)()(2yxxyexy02)(2yxxyyxyexyxxeyxeyxyxy)()2(0)()(2yxdedxy0)()(22dyxxydxydexy0)(2)(2dyxxxdyydxxdyexy法二、方程两边同时求微分0)2()(ydxxexdyxexyxyxxeyxedxdyxyxy)()2(例4.4.8设曲线C的方程为，xyyx333求过C上点的切线方程，并证明曲线C在该点)23,23(显然通过原点.解:,求导方程两边对xyxyyyx333322.1)23,23(22)23,23(xyxyy所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即的法线通过原点.五、对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu例4.4.9.),0(sinyxxyx求设解:等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx例4.4.10解:等式两边取对数得.,)4(1)1(23yexxxyx求设求导得上式两边对xxxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111xxxyy六、参数形式的函数的求导公式142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx定义4.4.2若参数方程确定x与y间的函数关系，)()(tytx称此为参数形式的函数.例如消去参数22tytx2xt4)2(222xxty2xyt问题:消参困难或无法消参的如何求导？)()(tytxt在方程中，),()(t)(t设和在)(1)(ttdxdtdtdydxdydtdxdtdydxdy即)(t),(0)(t在上严格单调且，上可导,上存在反函数),(由反函数求导法则，在)(tx由复合函数求导法则:，)(1xt)].([1xy从而且成立，－)(1)(1txdttdy)(dttdx)(也可以直接求微分)(')('ttdxdy两边相除，得例4.4.11)cos1()sin(tayttax2t求摆线在处的切线方程.解:dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin.12cos12sin2tdxdy.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即七.小结复合函数求导法则初等函数的求导问题一阶微分的形式不变性隐函数的导数对数求导法参数形式的函数的求导公式1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则