用曲线积分求旋转曲面的面积

四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用1用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用2作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用3先看特殊的情形旋转轴为坐标轴四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用4设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用5ds(,)xyL在曲线L的(x,y)处取一弧微分ds它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：2xdAsdy（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xxLLAsdAdyy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用6命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xLysAdds(,)xyyL四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用7命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理x2yLxsAdds(,)xyL四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用8下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用9直角坐标方程四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用10:()()Lyyxaxbxy=f(x)bLa如果2()1[)2(]2bxaLyyxdsyxdxAL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：21[()]ysxdxd则21[()](2)bxaAyxxyxd四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用11:()()Lyyxaxbxy=f(x)bLa如果21[()2]2byaLxxdsydxAxL绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：21[()]ysxdxd则21[()]2byayxdxAxy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用12参数方程四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用13:(),()()LxxtyytatbL如果22[()][()()22]byaLdsxtytdtyAytL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]xtytddst则22[()][()2()]bxaxtyytAtdtyx四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用14:(),()()LxxtyytatbxL如果22[()][()()22]byaLdsxtytdtxAxt则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]xtytddst则22[()][()2()]byaxtyxtAtdty四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用15极坐标方程四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用16:()()L()如果22[(()][())sin]22xLdyAdsL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]dsd则x22[()()sin][()]2xAd四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用17我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用18(,)xyL上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。12xLydAs证由命题y古尔丁定理2Lsyd12Lssdsy2sy形心四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用19如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。(,)xyLy形心四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用20下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用21设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。将L绕直线l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用22ds(,)xyL在曲线L的(x,y)处取一弧微分ds它到直线l的距离是：该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为：2dAsdd于是整个曲线L绕直线l旋转而成的旋转曲面的面积为：2LLAddAdsd设直线l的方程为ax+by+c=0。22axbycdabl四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用23222LAaxbysadcb命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：ds(,)xyLdl四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用24下面举几个例子来说明命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用25例1求曲线y=x2(0x2)绕直线y=2x旋转的旋转曲面的面积A。222022(2)1(2)5258.55LxydxxdxsAx解y:=x-x^2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);255d02()2xx214x2x25537174816364()ln2164ln121788.5542306168.554230612四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用26例2求y=x2(0x1)绕直线y=x-1旋转的旋转曲面的面积A。222022(1)1(2)251.5LAxxxdxdxsy解y:=x-x^2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);D12yx2d01()x2x114x2x21532()ln2355961564ln12541125.4954841665.495484162四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用27例3求y=lnx(1xe)绕直线y=-x旋转的旋转曲面的面积A。21212(ln)1221.21LeAxxdxysxxd解y:=x-ln(x);f:=(x,y)-x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);D1lnyxeyx2d1e()x()lnx11x2x2d1e()x()lnx11x2x21.2117807021.21178070