高中数学函数专题

第1页共19页高中数学函数专题1．已知在实数域R上可导的函数)(xfy对任意实数21,xx都有),()()(2121xfxfxxf若存在实数ba,，使0)(0)(bfaf且，求证：（1）0)(xf；（2）),()(在xfy上是单调函数证明：（1）2)]2([)2()2()22()(xfxfxfxxfxf又()[()]()()0,()022222xxxxxfafaffaf,0)(0)]2([2xfxf即（2）xxfbfxbfxfbfxbfxbfbfxxx1)(lim)()()()(lim)()(lim)(000即)()()(]1)()[(lim)()()(1)(lim00bfbfxfxxfxfxfbfbfxxfxx0)(0)(,0)(,0)(xfbfbfxf)(xf在R上是单调递增函数.2．已知抛物线C的方程为Fxy,42为焦点，直线00:1kkykxl与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线2l过P、F点。（1）求直线2l的斜率关于k的解析式)(kf，并指出定义域；（2）求函数)(kf的反函数)(1kf；（3）求1l与2l的夹角的取值范围。（4）解不等式1,0121log1aaxxfa。解：（1）142xkyxy00161604422kkkyky10k0,1,21,222221Fkkkyxkyyyppp1011202)(222kkkkkkkf（2）02141)(21kkkkf（3）4,0,10,10,)(1)(3tgkkkkfkkftg（4）4124121)(221xxxxf，∴原不等式为0241log2xxa当1a时，41,41222axax；当10a时，4122ax，显然，210a时，x；当121a时，4102ax。第2页共19页3．已知二次函数)(41)(2Rtatbattf有最大值且最大值为正实数，集合}0|{xaxxA，集合}|{22bxxB.（1）求A和B；（2）定义A与B的差集：AxxBA|{且}Bx.设a，b，x均为整数，且Ax。)(EP为x取自BA的概率，)(FP为x取自BA的概率，写出a与b的三组值，使32)(EP，31)(FP，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{na}、{nb}的通项公式（不必证明）；（3）若函数)(tf中，naa，nbb（理）设1t、2t是方程0)(tf的两个根，判断||21tt是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出)(tf的最大值)(nf，并判断)(nf是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。解：（1）∵)()(412Rttbattfa有最大值，∴0a.配方得ababtatf4122)()(，由1041bab.∴}0|{xaxA，}|{bxbxB。（2）要使32)(EP，31)(FP。可以使①A中有3个元素，BA中有2个元素，BA中有1个元素.则2,4ba.②A中有6个元素，BA中有4个元素，BA中有2个元素。则3,7ba.③A中有9个元素,BA中有6个元素,BA中有3个元素.则4,10ba.1,13nbnann.（3）（理）0)(tf，得01nb.691169121221211224)(||)(nnnnnnnabttttttng，∵692911nnnn，当且仅当31n时等号成立.∴)(ng在N上单调递增。41max21)1(||gtt.又0)(limngn，故没有最小值。（文）∵nnnnnabng412141241)(单调递增，∴41min)1()(fnf，又121)(limnfn，∴没有最大值。第3页共19页4．已知函数11log)(xmxxfa是奇函数)1,0(aa。(1)求m的值；（2）判断）（xf在区间),1(上的单调性并加以证明；（3）当)2,(,1arxa时，)(xf的值域是),1(，求ra与的值.解:（1）m=－1（2）由（1），).1,0(11log)(aaxxxfa任取11)(,11)(,11)(,),,1(2221112121xxxtxxxtxxxtxxxx则令设，)1)(1()(21111)()(2112221121xxxxxxxxxtxt.,,1,12121xxxx,0,01,011221xxxx1111),()(221121xxxxxtxt即.),1()(,11log11log,12211在时当xfxxxxaaa上是减函数；当0a1时，),1()(在xf上是增函数.（2）当a1时，要使)(xf的值域是),1(，则111logxxa，011)1(,11xaxaaxx即而a1，∴上式化为0111xaax①又),121(log11log)(xxxxfaa∴当x1时，0)(xf.当0)(,1xfx时.因而，欲使)(xf的值域是),1(，必须1x，所以对不等式①，当且仅当111aax时成立.32,1,1,1121araaaar得解之.第4页共19页5．|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).试确定运算s(x,y)=||1||yxyx是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)=||1||yxyx≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y，第一条满足s(x,y)=||1||yxyx=||1||xyxy=s(y,x)，第二条也满足s(x,z)=||1||zxzx∵函数f(x)=xx1=1-x11(或111x)在x0上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤||||1||||zyyxzyyx=||||1||zyyxyx+||||1||zyyxzy≤||1||yxyx+||1||zyzy=s(x,y)+s(y,z)（10分）总之，s(x,y)是距离6．已知曲线轴与ydcxbxaxyL23:相交于点A，以其上一动点P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于Q点.（Ⅰ）求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标；（Ⅱ）求.sinsinlim0AQPAPQx(Ⅰ）解：cbxaxkcbxaxydA020223,23),,0(0002000200))(23(0),)(23(yxcbxaxyxxxcbxaxyyQ得令)))(23(,0(00020yxcbxaxQ（Ⅱ）由正弦定理得：03232000000222322000000320023220000|32||2|sinsin()()|2|sin|2|limlim2sin||()xxaxbxcxydaxbxAPQAQAQPAPxydxaxbxcxaxbxAPQaAQPaxaxbxcx第5页共19页7．设a、b为常数，FxbxaxfxfM};sincos)(|)({：把平面上任意一点（a，b）映射为函数.sincosxbxa（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当Mxf)(0时，Mtxfxf)()(01，这里t为常数；（3）对于属于M的一个固定值)(0xf，得}),({01RttxfM，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即xbxabaFsincos),(与xdxcdcFsincos),(相同，即xdxcxbxasincossincos对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令2x，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当Mxf)(0时，可得常数a0，b0，使xbxaxfsincos)(000)()(01txfxf)sin()cos(00txbtxaxtatbxtbtasin)sincos(cos)sincos(0000由于tba,,00为常数，设nmntatbmtbta,,sincos,sincos0000则是常数.从而Mxnxmxfsincos)(1。（3）设Mxf)(0，由此得xnxmtxfsincos)(0（tbtamsincos00其中，tatbnsincos00）在映射F下，)(0txf的原象是（m，n），则M1的原象是},sincos,sincos|),{(0000Rttatbntbtamnm消去t得202022banm，即在映射F下，M1的原象}|),{(202022banmnm是以原点为圆心，2020ba为半径的圆。8．试构造一个函数(),fxxD，使得对一切xD有|()||()|fxfx恒成立，但是()fx既不是奇函数又不是偶函数，则()fx可以是2,(1)(),(1)xxfxxx9．设A∪B∪C=5,4,3,2,1,且A∩B=3,1,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组)(A)A.500组B.75组C.972组D.125组第6页共19页10．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MN∥CD)试问：（I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为),(),(xfxfBA则由已知及图象可得98,(060),()380,(60);10Axfxxx168,(0500)()318;(500).10Bxfxxx（I）通话时间2小时，按方案A，B各付话费116元和168元；（II）因为)500)((3.0103)()1(nnfnfBB元，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元；（III）由图象知，当600x时，由),()(xfxfBA),()(,50060),()(,5004xfxfxxfxfxBAB由时在时当可得.3880x即当通话时间在（),3880，方案B比方案A优惠.第7页共19页11、(04河南)若,Ra求函数axexxf2)(的单调区间.解：22()2(2).axaxaxfxxeaxexaxe（I）当a=0时，若x0，则)(xf0，