专题五 第2讲空间中的平行与垂直

专题五立体几何第2讲空间中的平行与垂直主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．考情解读主干知识梳理1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理线面平行的性质定理a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理a⊂α，b⊂αa∩b＝Ol⊥a，l⊥b⇒l⊥αa⊥αb⊥α⇒a∥b2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理a⊥αa⊂β⇒α⊥βα⊥βα∩β＝ca⊂αa⊥c⇒a⊥β面面平行的判定定理面面平行的性质定理a⊂βb⊂βa∩b＝Oa∥α，b∥α⇒α∥βα∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可.3.平行关系及垂直关系的转化热点一空间线面位置关系的判定热点二平行、垂直关系的证明热点三图形的折叠问题热点分类突破例1(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若a⊥α且a⊥b，则b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC.若a∥α且a∥β，则α∥βD.若γ∥α且γ∥β，则α∥β热点一空间线面位置关系的判定思维启迪判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定.解析A：应该是b∥α或b⊂α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.答案D(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.答案D解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.思维升华变式训练1设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n③若m⊥α，m⊥n，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则β∥α其中真命题的序号为()A.①③B.②③C.①④D.②④解析①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以③错误；④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确.故选D.答案D例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；热点二平行、垂直关系的证明(1)PA⊥底面ABCD；思维启迪利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；证明因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；思维启迪BE∥AD易证；证明因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪EF是△CPD的中位线.证明因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.思维升华变式训练2如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；证明如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.12∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝DE，∴GF＝AB.12∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.证明∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).热点三图形的折叠问题(1)求证：DE∥平面A1CB；思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE；思维启迪第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；证明由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.思维启迪第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.思维升华变式训练3如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点.π2(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；证明作DH⊥EF，垂足为H，连接BH，GH，因为平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，DH⊂平面AEFD，所以DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH.因为EH＝AD＝BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，12所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH.又BH，DH⊂平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH.又BD⊂平面DBH，故EG⊥BD.(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式.解因为AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，AE⊂平面AEFD，所以AE⊥平面EBCF.由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高DH＝AE＝x.又S△BCF＝12BC·BE＝12×4×(4－x)＝8－2x，所以三棱锥D－BCF的体积f(x)＝13S△BFC·DH＝13S△BFC·AE＝13(8－2x)x＝－23x2＋83x(0x4).1.证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.本讲规律总结2.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.3.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.4.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.5.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.6.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α12真题感悟解析方法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错.12真题感悟方法二如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错.B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确.12真题感悟C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错.D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错.答案B真题感悟212.(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.真题感悟21(1)求证：EF⊥平面BCG；证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.真题感悟21(2)求三棱锥D－BCG的体积.附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高.13解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面